Forme linéaire

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En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie des distributions, ou dans la théorie des espaces de Hilbert.

Les formes linéaires sur un espace vectoriel portent parfois également le nom de covecteur. Ce terme qui prend sens dans le cadre général des tenseurs et du calcul tensoriel rappelle que si les formes linéaires peuvent être représentées par un système de coordonnées comparable à celui des vecteurs, elles s'en distinguent pour ce qui est des formules de transformations.

Sommaire

1 Définition
2 Base duales et antéduales
3 Propriétés algébriques
4 Formes linéaires continues
5 Formes linéaires continues sur un espace de Hilbert
6 Référence
7 Voir aussi

[modifier] Définition

Une forme linéaire sur un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$ (ou covecteur de $E$ ) est une application linéaire définie sur $E$ et à valeurs dans $K$ .

En d'autres termes, on dit que l'application $\varphi$ de $E$ dans $K$ est une forme linéaire si :

$\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in K,\ \varphi(\lambda x + y)=\lambda \varphi(x)+\varphi(y).$

[modifier] Espace dual

L'ensemble des formes linéaires sur $E$ est lui-même un $K$ -espace vectoriel. On l'appelle le dual de $E$ et il est noté $E *$ ou $hom(E, K)$ . Ainsi, si $φ$ et $ψ$ sont des formes linéaires et $a$ et $b$ des éléments de $K$ :

$\forall x \in E,\ (a\phi + b\psi)(x) = a\cdot \phi(x) + b\cdot \psi(x).$

L'application constante de valeur $0 K$ s'appelle la « forme linéaire nulle ».

On note parfois $\langle\phi,x\rangle$ (où $x \in E$ ) pour $φ(x)$ . Cette notation est appelée crochet de dualité.

[modifier] Représentations matricielles

Une base de $E$ étant donnée, les composantes d'un vecteur $x\in E$ sont ordonnées sous forme de vecteur colonne :

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}.$

Au contraire, une forme linéaire ou covecteur est représentée par un vecteur ligne à n composantes :

$\phi = \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{pmatrix}.$

Le crochet de dualité est le produit matriciel

$\phi(x) = \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = \sum_{i=0}^n \phi_i x_i.$

Selon la convention d'Einstein, ce résultat peut se noter $\phi_i x_i\,$ et est un scalaire (en réalité une matrice $(1,1)$ ).

[modifier] Exemples

L'application

$\begin{array}{rccc}\varphi : & \R^2 &\longrightarrow &\R \\ & (x,y)& \longmapsto & x+y;\end{array}$

est une forme linéaire sur $\R^2$

Si $L 1 (Ω)$ est le $\mathbb{C}$ -espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables sur l'espace mesuré $Ω$ , alors l'intégrale est une forme linéaire sur $L 1 (Ω)$ . Cela signifie que

$\forall (f,g) \in (L^1(\Omega))^2,\ \forall \lambda \in \mathbb{C},\ \int(\lambda f + g)=\lambda \int f+\int g.$

[modifier] Base duales et antéduales

L'ensemble des formes linéaires sur un espace vectoriel $E$ se note en général $E *$ et s'appelle l'espace vectoriel dual de $E$ , ou plus simplement son espace dual. Si $E$ est de dimension finie $n$ , il est remarquable que $E *$ soit aussi de dimension finie $n$ . En d'autres termes, on peut aussi dire qu'un espace de dimension finie est isomorphe à son dual. Cependant, il n'y a pas d'isomorphisme canonique dans le sens où si $E$ est quelconque, il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de pouvoir définir un isomorphisme le reliant à $E *$ . Si $(e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$ , on définit sur celle-ci les formes linéaires notées $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ par :

$\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ e_i^*(e_j)=\delta_{ij};$

(où $δ i j$ est le symbole de Kronecker, c'est-à-dire valant 1 si $i = j$ et 0 sinon).

Ces formes linéaires sont aussi appelées les projections des coordonnées, l'image d'un vecteur $x$ par $e_i^*$ n'est autre que la i-ème coordonnée du vecteur $x$ dans la base $(e_1, \ldots, e_n)$ . Le résultat important est que la famille de formes linéaires $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ forme une base de $E *$ ; on appelle aussi cette base la base duale de la base $(e_1, \ldots, e_n)$ .

Inversement, si on se donne une base $(f_1^*,\ldots, f_n^*)$ de $E *$ , il existe une unique base $(f_1,\ldots, f_n)$ de $E$ telle que:

$\forall (i,j) \in \{1, \ldots, n \}^2,\ f_i^*(f_j)=\delta_{ij}.$

La base $(f_1, \ldots, f_n)$ s'appelle la base antéduale de la base $(f_1^*, \ldots, f_n^*)$ .

[modifier] Propriétés algébriques

Si $\varphi$ est une forme linéaire non nulle, alors elle est surjective. On a donc $\mathrm{Im}(\varphi)= K$ .
Si $\varphi$ est une forme linéaire non nulle, alors son noyau $\ker(\varphi)$ est un hyperplan de $E$ .

Réciproquement, si

H

est un hyperplan de

E

, il existe une forme linéaire $\varphi$ telle que $\ker(\varphi) = H$ ; cette forme linéaire (nécessairement non nulle) est unique, à un coefficient multiplicatif non nul près.

Enfin, une propriété importante est que deux formes linéaires ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

[modifier] Formes linéaires continues

Si on considère un espace vectoriel normé $E$ sur le corps $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{C}$ , alors on sait définir la notion de continuité de n'importe quelle application linéaire et en particulier, on dispose d'une notion de continuité pour les formes linéaires.

Si $E$ est un espace vectoriel normé et $\varphi$ est une forme linéaire continue alors elle est uniformément continue.

[modifier] Formes linéaires continues sur un espace de Hilbert

On suppose désormais que $E$ est un espace de Hilbert sur le corps $\mathbb{K}$ et on note $\langle , \rangle$ le produit scalaire sur cet espace vectoriel.

On démontre grâce au théorème de représentation de Riesz que les formes linéaires continues sur $E$ s'expriment alors toutes d'une manière simple en fonction du produit scalaire et plus précisément :

$\forall \varphi \in E^{*},\ \exists! a_{\varphi} \in E,\ \forall x \in E,\ \varphi(x)= \langle x,a_{\varphi}\rangle.$

[modifier] Référence

Lecture Notes on General Relativity, S. Carroll

[modifier] Voir aussi

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs		sous-espace
colinéarité • indépendance linéaire famille libre ou liée • rang famille génératrice • base théorème de la base incomplète		somme • somme directe supplémentaire dimension • codimension droite • plan • hyperplan
morphismes et notions relatives
application linéaire • noyau • conoyau • lemme des noyaux pseudo-inverse• théorème de factorisation • théorème du rang équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent
en dimension finie
trace • déterminant • polynôme caractéristique polynôme d'endomorphisme • théorème de Cayley-Hamilton polynôme minimal • invariants de similitude réduction • réduction de Jordan • décomposition de Dunford
matrice
enrichissements de structure
norme • produit scalaire • forme quadratique • topologie orientation • multiplication • crochet de Lie • différentielle
développements
théorie des matrices • théorie des représentations analyse fonctionnelle • algèbre multilinéaire module sur un anneau