Codimension
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, la codimension est une notion d'algèbre linéaire.
Elle prend un sens dans le cas des espaces vectoriels et s'applique à un sous-espace vectoriel.
Sommaire |
[modifier] Définition
La codimension d'un sous-espace vectoriel est la dimension d'un de ses sous-espaces supplémentaires.
Cette définition prend un sens car tout sous-espace supplémentaire possède la même dimension.
[modifier] Propriétés
En dimension finie la codimension est égale à la différence de la dimension de l'espace par la dimension du sous-espace.
En dimension infinie, la codimension peut être finie, mais le sous-espace est alors de dimension infinie. Un sous-espace de dimension finie a toujours une codimension infinie.
[modifier] Démonstration
Soit E un espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel et G et H deux supplémentaires de F. Alors l'article Sous-espaces supplémentaires montre que E est isomorphe à FxG et FxH. Donc FxG et FxH sont isomorphe, par passage au quotient, FxG/F est isomorphe à FxH/F et donc G est isomorphe à H.
Le paragraphe propriétés sur la dimension d'un espace vectoriel montre que deux espaces vectoriels ne sont isomorphes que s'ils ont des dimensions égales.
En dimension finie, le théorème de la base incomplète montre que l'on peut compléter la base de F pour obtenir une base de E. Comme toute base a pour cardinal la dimension de l'espace, on en déduit que, en dimension finie la codimension est égale à la soustraction de la dimension de l'espace par la dimension du sous-espace.
Soit un sous-espace de dimension finie ayant une codimension finie. Alors il existe une base formée par une base du sous-espace et du supplémentaire de cardinal fini. L'espace est donc de dimension finie. La contraposée indique que dans un espace de dimension infinie la codimension d'un sous-espace de dimension fini est toujours infinie.
[modifier] Exemple
Considérons le sous-espace des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, il possède comme supplémentaire le sous-espace des constantes. Il est donc de codimension 1.
/!\ Attention : la phrase classique précédente est fausse, étant donné que l'ensemble des polynômes de degré>0 n'est pas un sous-espace vectoriel. En effet, il ne contient pas le vecteur nul, et il n'est même pas stable par addition, vu que par exemple (X²+1) et (-X²+2) sont des polynômes de degré 2>0, mais leur somme (X²+1)+(-X²+2)=3 n'est plus de degré>0.
En réalité, on pourrait citer comme exemple valable le cas général d'un hyperplan vectoriel (c.-à-d. le noyau d'une forme linéaire non nulle), qui est bien un sous-espace-vectoriel de codimension 1. Par exemple, pour rester dans les polynômes, 
où ![\varphi\colon P(X)\in\mathbb{K}[X]\longmapsto P(0)\in\mathbb{K}](../../../../math/d/1/b/d1beda188f5102fd7245964e7e2911b3.png)
convient. En fait ![H=\{P\in\mathbb{K}[X]: P(0)=0\}](../../../../math/9/b/d/9bd17626f0ae7961d130d4e561572a58.png)
est l'ensemble des polynômes de valuation 
. Le supplémentaire étant le sous-espace des polynômes constants qu'on identifie au corps de base, on peut ainsi écrire ![\mathbb{K}[X] = \mathbb{K} \oplus H](../../../../math/d/a/8/da8f1b8d5fa4ef15bb52fb564534abd0.png)
.
