Espace vectoriel topologique

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Les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel.

Des exemples connus d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.

Sommaire

1 Définition
2 Voisinages de l'origine
3 Espace quotient
4 Types d'espaces vectoriels topologiques
5 Références
6 Voir aussi

[modifier] Définition

Un espace vectoriel topologique ("e.v.t") E est un espace vectoriel sur un corps topologique K (généralement R ou C muni de leur topologie habituelle) muni d'une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel, c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :

La somme de deux vecteurs est une application continue de E x E dans E,
Le produit d'un scalaire par un vecteur est une application continue de K x E dans E.

La catégorie des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K est notée TVS_K ou TVect_K où les objets sont les K-espaces vectoriels topologiques et les morphismes sont les applications K-linéaires continues.

[modifier] Voisinages de l'origine

[modifier] Ensemble absorbant

Une partie $\quad U$ d'un espace vectoriel $\quad E$ sur $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$ est absorbante si:

$\forall v \in E \quad \exists \alpha \in \mathbb R_+^*\quad \forall \lambda \in K \quad |\lambda|\le \alpha \Rightarrow \lambda v \in U$

Théorème

Tout voisinage de l'origine est un ensemble absorbant.

En effet si $\mathcal V$ est un voisinage de 0 et si v est un vecteur quelconque, il résulte de la continuité de l'application (partielle) de $\mathbb K$ dans $\mathbb E$ : $\lambda \mapsto \lambda v$ qu'il existe un voisinage de 0 dans $\mathbb K$ qu'on peut restreindre à $|\lambda|\le\alpha$ dont l'image est dans $\mathcal V$ et donc $|\lambda|\le\alpha \Rightarrow \lambda v \in \mathcal V$ .

[modifier] Ensemble symétrique

Une partie $\quad U$ d'un e.v.t $\quad E$ sur $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$ est symétrique si :

$\forall v \in U \quad -v\in U$ .

[modifier] Ensemble équilibré

Une partie $\quad U$ d'un e.v.t $\quad E$ sur $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$ est équilibrée si :

$\forall \lambda \in K \quad \forall v \in U\quad |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in U$

[modifier] Noyau équilibré d'une partie de E contenant l'origine

Le noyau équilibré N d'une partie A de E contenant 0 est la réunion des parties équilibrées de E incluses dans A. Ce noyau est non vide puisque {0} est une partie équilibrée incluse dans A. C'est un ensemble équilibré car toute réunion d'ensembles équilibrés est équilibrée (puisque si $x \in N$ x appartient à une partie équilibrée incluse dans N). N est donc le plus grand ensemble équilibré inclus dans A

Théorème

Soit $N$ le noyau équilibré d'un ensemble $A$ contenant l'origine. Pour que $\quad v \in N$ , il faut et il suffit que pour tout scalaire $\lambda\,$ vérifiant $|\lambda|\le 1$ on ait $\quad \lambda v \in$ A.

En effet si $v \in N$ alors pour tout scalaire $\quad \lambda$ vérifiant $|\lambda|\le 1$ on a $\lambda v \in N \in A$ .

Réciproquement si v vérifie la condition $|\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in A$ , supposons que $v \not\in N$ . En posant $N'=N \cup \{\mu v / |\mu|\le 1\}$ on voit que N' est un ensemble équilibré inclus dans A et contenant strictement N, ce qui est contradictoire.

Proposition

Quelque soit $O$ un ouvert contenant le vecteur nul, il existe un ouvert $Ω$ inclus dans $O$ et équilibré.

En effet, l'application la multiplication externe est continue, donc continue au point $(0_{\mathbb K},0_E)$ , ce qui s'exprime de la manière suivante, si

τ

désigne la topologie de

E

$\exists \alpha \in \mathbb R_+^* \quad \exists W \in \tau \qquad \forall \lambda \in \mathbb K \; \forall v \in W \qquad |\lambda | < \alpha \; \text {et} \; y \in W \Rightarrow \lambda \cdot y \in O$

L'ensemble $Ω$ , défini par la propriété suivante, remplit la condition :

$\Omega = \bigcup_{|\lambda | < \alpha} \lambda W$

[modifier] Espace quotient

Soit F un sous espace vectoriel de E. Il est relativement aisé de munir E/F d'une structure d'espace topologique. Soit φ la projection canonique de F sur E, par définition la topologie induite par le quotient de E/F est la plus fine qui rende φ continue. Les ouverts sont les ensembles dont l'image réciproque par φ est ouverte.

La topologie induite par le quotient confère à E/F une structure d'espace vectoriel topologique.

En effet, soit Ω un ouvert de E/F, son image réciproque par φ est un ouvert ω de E. L'image réciproque de ω par l'addition est un ouvert σ de ExE. La projection de σ par φxφ est un ouvert de E/FxE/F, il correspond à l'image réciproque de Ω par l'addition. Le raisonnement pour la multiplication externe est analogue.

Si E est séparé, la question se pose de savoir sous quelle condition le quotient l'est toujours :

La topologie de E/F est séparée si et seulement si celle de E l'est et si F est fermé.

En effet, si E n'est pas séparé alors l'image par φ de deux points non séparés est clairement non séparée. Si F n'est pas fermé, alors il existe un point x tel que tout voisinage de x rencontre F. En conséquence tout voisinage de φ(x) contient le vecteur nul.

Réciproquement si E est séparé et F fermé, considérons deux points x et y dont l'image par φ n'est pas confondue. Le point x - y n'est pas élément de F, comme F est fermé, il existe un ouvert Ω contenant x - y et d'intersection vide avec F. L'application soustraction est continue, il existe donc deux ouverts contenant respectivement x et y tel que leur image par l'application soustraction est incluse dans Ω. L'image de ses deux ouverts par φ forment deux voisinages de x et y d'intersection vide.

[modifier] Types d'espaces vectoriels topologiques

Suivant l'application qu'on en fait, on utilise généralement des contraintes supplémentaires sur la structure topologique de l'espace. Ci-dessous se trouvent quelques types particuliers d'espaces topologiques, à peu près classés selon leur gentillesse.

Espaces vectoriels topologiques localement convexes : dans ces espaces, tout point admet une base de voisinages convexes. Par la technique connue sous le nom de fonctionelle de Minkowski, on peut montrer que un espace est localement convexe si et seulement si sa topologie peut être définie par une famille de semi-normes. La convexité locale est le minimum requis pour des arguments géométriques comme le théorème de Hahn-Banach.
Espaces tonnelés : espaces localement convexes où le théorème de Banach-Steinhaus s'applique.
Espaces de Montel : espaces tonnelés où tout fermé borné est compact.
Espaces bornologiques : espaces localement convexes où les opérateurs linéaires continus à valeurs dans un espace localement convexe sont exactement les opérateurs linéaires bornés.
Espaces LF
Espaces F
Espaces de Fréchet
Espaces nucléaires
Espaces vectoriels normés et semi-normés : espaces localement convexes où la topologie peut être décrite par une unique norme ou semi-norme. Dans les espaces vectoriels normés, un opérateur linéaire est continu si et seulement s'il est borné.
Espaces de Banach : espaces vectoriels normés complets. La plus grande partie de l'analyse fonctionnelle est formulée pour des espaces de Banach.
Espaces réflexifs : espaces de Banach isomorphes à leur double dual. Un exemple important d'espace non réflexif est L¹, dont le dual est L^∞ mais est strictement contenu dans le dual de L^∞.
Espaces de Hilbert : ils ont un produit scalaire ; bien que ces espaces puissent être de dimension infinie, la plupart des raisonnements géométriques familiers en dimension finie s'appliquent également.
Espaces euclidiens ou hermitiens : ceux-ci sont des espaces de Hilbert de dimension finie. Il existe alors une unique topologie conférant à l'ensemble le statut d'espace vectoriel normé. Cette configuration est étudiée dans l'article topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

[modifier] Références

Alexander Grothendieck, Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973 (ISBN 0677300204)
G Köthe, Topological vector spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969
Helmuth H. Schaefer, Topological vector spaces., Springer-Verlag, New York, 1971 (ISBN 0387987266)
F Trèves, Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, Academic Press, 1967 (ISBN 0486453529)
N Bourbaki Espaces vectoriels topologiques Masson 1981 (ISBN 2225684103)