Sous-espace supplémentaire

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Un sous-espace supplémentaire est un objet mathématique qui entre dans la branche de l'algèbre linéaire. C'est un sous-ensemble d'un espace vectoriel.

Une fois connu un sous-espace vectoriel, alors la connaissance d'un sous-espace supplémentaire permet une décomposition unique de l'espace vectoriel.

Tout vecteur est la somme d'un vecteur membre du sous-espace vectoriel et d'un élément de son supplémentaire. Les deux vecteurs formant la somme sont obtenus par des projecteurs. Le sous-espace et son supplémentaire sont dit en somme directe.

Tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire, cependant dans le cas où la dimension n'est pas finie, alors la démonstration utilise le Lemme de Zorn, et donc indirectement, l'axiome du choix.

[modifier] Définition

Dans la suite de l'article E désigne un espace vectoriel, x désigne un vecteur quelconque de E et E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels.

La définition d'un sous-espace supplémentaire est donnée par l'équivalence des quatre propositions suivantes:

  • E2 est un sous-espace supplémentaire de E1.
  • E1 et E2 ont une intersection réduite au vecteur nul et tout vecteur s'écrit comme la somme d'un vecteur de E1 et E2.
  • Tout vecteur x s'écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de E1 et d'un vecteur de E2.
  • Il existe deux projecteurs P1 et P2 tel que leur somme soit égal à l'identité et l'image de P1 (respectivement P2) soit égal à E1 (respectivement E2)

Les deux sous-espaces sont alors dit en somme directe. On note E = E_1 \oplus E_2.

Démonstration
  • La deuxième proposition est équivalente à la troisième

Dire qu'il existe une manière unique d'écrire un vecteur comme somme de deux vecteurs de E1 et E2 signifie que tout vecteur de l'intersection des deux sous-espaces s'écrit comme la somme de deux vecteurs nulles.

  • La troisième proposition implique la quatrième proposition

Supposons la troisième proposition vraie. Soit x = x1 + x2 la décomposition de la troisième proposition. Définissons P1 (respectivement P2) comme l'endomorphisme qui à x associe x1 (respectivement x2).

Alors P1 (respectivement P2) sont linéaires, en effet si λ est un scalaire et y un vecteur ayant pour décomposition y = y1 + y2, alors:

x+\lambda .y=x_1+\lambda .y_1+x_2+\lambda .y_2\;

est l'unique décomposition du vecteur x + λy. L'unicité de la décomposition montre les deux égalités suivantes et donc la linéarité de P1 et P2.

P_1(x+\lambda .y)=x_1+\lambda .y_1\quad et\quad P_2(x+\lambda .y)=x_2+\lambda .y_2\;

Les trois égalités suivantes montrent que P1 et P2 sont des projecteurs:

(P_1\circ P_1)(x)=P_1(x_1)=x_1\quad et (P_2\circ P_2)(x)=P_2(x_2)=x_2\;

Ces égalités montrent de plus que P1 (respectivement P2) a bien pour image E1 (respectivment E2), que la restruction de P1 (respectivement P2) sur leurs images est bien l'identité et que leur noyau est E2 (respectivement E1). L'égalité suivante montre que leur somme est égale à l'identité:

(P_1+P_2)(x)=P_1(x)+P_2(x)=x_1+x_2=x=Id(x)\;
  • La quatrième proposition implique la troisième proposition

L'égalité suivante montre l'existence d'une décomposition de x comme somme d'un vecteur de E1 et d'un vecteur de E2.

x=P_1(x)+P_2(x)\quad avec\quad P_1(x)\in E_1\; et\; P_2(x)\in E_2\;

Soit alors une décomposition x = x1 + x2 du vecteur comme somme d'un vecteur de E1 et d'un vecteur de E2. Les égalités suivantes montre l'unicité de x1 et x2.

P_1(x)=P_1(x_1+x_2)=P_1(x_1)+P_1(x_2)=P_1(x_1)=x_1\;
P_2(x)=P_2(x_1+x_2)=P_2(x_1)+P_2(x_2)=P_2(x_2)=x_2\;
 


[modifier] Propriétés

  • Tout sous-espace vectoriel E1 admet un supplémentaire E2.
  • Dans le cas où E est de dimension finie, alors la dimension de E2 est égale à la codimension de E1.
  • Si E2 est un supplémentaire de E1, Alors E est isomorphe au produit cartésien E1xE2.
Démonstrations
  • Tout sous-espace vectoriel E1 admet un suplémentaire E2.

C'est une conséquence directe du théorème de la base incomplète. Soit une base de E1, elle forme une famille libre de E, elle peut donc être complétée pour former une base de E. L'espace engendré par les vecteurs complétant la base est un supplémentaire.

  • Dans le cas ou E est de dimension finie, alors la dimension de E2 est égale à la codimension de E1.

La démonstration est donnée dans l'article Codimension.

Considérons l'application qui de E1xE2 dans E qui à (x1,x2) associe x1+x2. Cette application est linéaire, son noyau est, par construction réduit au vecteur nul et son image est E. Il existe donc un isomorphisme entre les deux structures.

 

[modifier] Liens internes

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs sous-espace

colinéarité • indépendance linéaire
famille libre ou liée • rang
famille génératrice • base
théorème de la base incomplète

somme • somme directe
supplémentaire
dimension • codimension
droite • plan • hyperplan
morphismes et notions relatives

application linéaire • noyau • conoyau •  lemme des noyaux
pseudo-inverse•  théorème de factorisation • théorème du rang
équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan
forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale
endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre
projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent
en dimension finie

trace • déterminant • polynôme caractéristique
polynôme d'endomorphisme • théorème de Cayley-Hamilton
polynôme minimal • invariants de similitude
réduction • réduction de Jordan • décomposition de Dunford
matrice
enrichissements de structure

norme • produit scalaire • forme quadratique • topologie
orientation • multiplication • crochet de Lie • différentielle
développements

théorie des matrices • théorie des représentations
analyse fonctionnelle • algèbre multilinéaire
module sur un anneau