Algèbre sur un corps

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En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit:

$(E, \mathbb K, +,\cdot, \times)$ est une algèbre sur un corps $\mathbb K$ , ou autrement dit une $\mathbb K$ - algèbre si :

(E, +, ·) est un espace vectoriel sur $\mathbb K$
la loi × est définie de E x E dans E ( loi de composition interne )
la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi + .
pour tout (a, b) dans $\mathbb K^2$ et pour tout (x, y) dans $E 2$ , (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

[modifier] Définitions

Soient $\mathbb K$ un corps et A un espace vectoriel sur $\mathbb K$ contenant l'opération binaire (c'est-à-dire $\forall x, y \in A, xy\,$ , est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que $\forall x, y, z \in A\,$ (vecteurs) et $\forall a, b \in \mathbb K\,$ (scalaires), ces identités sont vraies :

$(x + y) z = x z + y z\,$ ;
$x ( y + z) = x y + x z\,$ ;
$(a x) (b y) = (a b) (x y)\,$ ,

alors A est une algèbre sur $\mathbb K$ . On dit que A est une $\mathbb K$ -algèbre où $\mathbb K$ est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

$\mathbb K$ peut être un anneau commutatif, dans ce cas, A et $\mathbb K$ forment un module. Dans ce cas, A est une $\mathbb K$ -algèbre et $\mathbb K$ est l'anneau de base de A.

Deux algèbres A et B sur $\mathbb K$ sont isomorphes s'il existe une bijection $f : A \rightarrow B$ telle que $f (x y) = f (x) f (y)$ $\forall x,y \in A$ .

[modifier] Propriétés

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[modifier] Exemples

L'ensemble des nombres complexes $(\mathbb C, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et commutative.
L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à valeur dans $\mathbb R$ $\left(\mathcal M_n(\mathbb R), \mathbb R, +,\cdot, \times \right)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.
L'espace euclidien $\mathbb R^3$ muni du produit vectoriel $(\mathbb R^3, \mathbb R, +,\cdot, \wedge)$ est une un $\mathbb R$ - algèbre non associative et non commutative.
L'ensemble des quaternions $(\mathbb H, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.
L'ensemble des octonions $(\mathbb O, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre non associative et non commutative.
L'ensemble des biquaternions $(\mathbb B, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.