Symbole de Kronecker

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En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec, et est considéré comme une convention d'écriture plutôt que comme une fonction.

\delta_{ij} = \delta_i^j = \delta^{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{si } i=j \\ 0 & \mbox{si } i \ne j \end{cases}

Ou, en notation tensorielle :

\delta_i^j=\delta_i \cdot \delta^j

où δi et δj sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).


Ce symbole a été nommé en l'honneur du mathématicien Léopold Kronecker (1823 - 1891).

Il est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire :

(\delta_{ij})_{(i,j)\in\{1,2,3\}^2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

[modifier] Symbole de Kronecker et sommations

Lors de sommation, le symbole de Kronecker entraine des simplifications :

\sum_{k=1}^n a_k\delta_{k,i} =\left\{\begin{array}{cl} a_i &\textrm{si} \quad 1\leq i\leq n\\0 &\textrm{sinon}\quad\end{array}\right.

[modifier] Voir aussi