Lemme des noyaux

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un lemme traduisant l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels, noyaux de polynômes d'endomorphismes. C'est un résultat utile dans la théorie de la réduction des endomorphismes.

Sommaire

1 Enoncé
- 1.1 Démonstration
  - 1.1.1 Initialisation
  - 1.1.2 Hérédité
2 Applications

[modifier] Enoncé

Lemme des noyaux — Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$ et soit $f$ un endomorphisme de $E$ . Si $P_1,\ldots,P_n \in K[X]$ (avec $n \in \N^*$ ) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels $ker(P i (f))$ (où $1 \leq i \leq n$ ) sont en somme directe et

$\bigoplus_{i=1}^n \ker \left[ P_i(f) \right] = \ker \left[ \left( \prod_{i=1}^n P_i \right)(f) \right].$

[modifier] Démonstration

Par récurrence sur $n$ . On pose

$P=\prod_{i=1}^n P_i.$

[modifier] Initialisation

On suppose $n = 2$ . On a alors $P = P 1 P 2$ . D'après le théorème de Bézout, il existe $(U_1,U_2) \in (K[X])^2$ tel que $U 1 P 1 + U 2 P 2 = 1$ . On en déduit que $(U 1 P 1 + U 2 P 2)(f) = id E$ ( $id E$ désignant l'application identité de $E$ ).

Soit $x \in \ker P_1(f) \cap \ker P_2(f)$ . On a $x=[U_1(f) \circ P_1(f)](x)+[U_2(f) \circ P_2(f)](x)=0$ , donc $\ker P_1(f) \cap \ker P_2(f)=\{0\}$ .

Soit $x \in \ker P(f)$ . On a alors $x = [(U 1 P 1)(f)](x) + [(U 2 P 2)(f)](x)$ . Or

$P_2(f)\{[(U_1P_1)(f)](x)\}=[(U_1P_1P_2)(f)](x)=[U_1(f) \circ P(f)](x)=0;$

ce qui montre que $[(U_1P_1)(f)](x) \in \ker P_2(f)$ . De même, on montre que $[(U_2P_2)(f)](x) \in \ker P_1(f)$ .

On en déduit donc que

$\ker P(f) = \ker P_1(f) \oplus \ker P_2(f).$

[modifier] Hérédité

Supposons le lemme des noyaux démontré pour un $n \in \N-\{0,1\}$ . On a $P=P_1P_2\cdots P_{n+1}$ . On pose $Q_1=P_1P_2\cdots P_n$ et $Q 2 = P n + 1$ . On a donc $P = Q 1 Q 2$ . Les polynômes $Q 1$ et $Q 2$ sont premiers entre eux, donc d'après l'étude ci-dessus, on a $\ker P(f)=\ker Q_1(f) \oplus \ker Q_2(f)$ . Or en appliquant l'hypothèse de récurrence, $\ker Q_1(f)= \ker P_1(f) \oplus \cdots \oplus \ker P_n(f)$ . Finalement,

$\ker P(f)=\ker Q_1(f) \oplus \ker Q_2(f)= [\ker P_1(f) \oplus \cdots \oplus \ker P_n(f)]\oplus \ker P_{n+1}(f)=\bigoplus_{i=1}^{n+1} \ker P_i(f);$

ce qui montre que le lemme des noyaux est vrai pour $n + 1$ .

[modifier] Applications

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $K$ et soit $f$ un endomorphisme de $E$ . Soit $P\in K[X]$ un polynôme annulateur de $f$ (par exemple son polynôme caractéristique, d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et $\prod_{i=1}^n P_i$ une factorisation de $P$ dont les facteurs sont deux à deux premiers entre eux. Alors il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ et des matrices $A_i \in \mathbf{M}_{n_i}(K)$ telles que

$\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(f)=\begin{pmatrix} A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & A_n \end{pmatrix};$

où $n i = dimker P i (f)$ .

Démonstration

Par hypothèse $ker P (f) = E$ , donc, d'après le lemme des noyaux :

$E=\bigoplus_{i=1}^n \ker P_i(f).$

Chaque sous-espace $ker P i (f)$ est stable par $f$ , donc la matrice de $f$ dans n'importe quelle base de $E$ adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.