Hyperplan

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, les hyperplans sont des sous-espaces vectoriels particuliers.

Sommaire

1 Définition
2 Caractérisation
3 Lien avec les formes linéaires
4 Exemples
5 Représentation des sous-espaces

[modifier] Définition

Soit E un $\mathbb K$ -espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.

On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1.

Remarques :

Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriels de dimension n-1.
Dans $\mathbb{R}^3$ , la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.

[modifier] Caractérisation

On montre l'équivalence des propriétés suivantes :

$H$ est un hyperplan
Il existe une droite $D$ telle que $E=H \oplus D$
$\forall e \in E \backslash H, \quad E=H \oplus e \mathbb{K}$

[modifier] Lien avec les formes linéaires

On montre que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.

C'est à dire : H est un hyperplan de E $\Longleftrightarrow \exists \phi \in E^*\backslash\{0\}, \ H=\ker \phi$

Démonstration

Soit H un sev de E.

Supposons que H soit un hyperplan de E.

Nous savons par définition de la codimension que H admet un supplémentaire dans E de dimension égale à 1. C'est donc une droite vectorielle engendrée par un $x_o \in E-H$ (x_o ne peut être nul car il n'appartient pas à H qui contient 0). On a donc

$E=H \oplus x_o K$

Tout vecteur x de E se décompose donc de la façon suivante:

$x=\underbrace{x_H}_{\in H}+\underbrace{ \lambda x_o}_{\in x_o K}, \quad (\lambda \in K)$

Posons une application $\varphi: E \longrightarrow K$ qui a tout vecteur de E associe le scalaire associé à x_o dans sa décomposition suivant $H \oplus x_o K$ . Montrons alors que $\varphi$ est linéaire: On prend deux vecteurs x et y quelconque de E qui se décomposent comme ci-dessus:

$x=x_H+\lambda x_o \quad \mathrm{et} \quad y=y_H+\mu x_o$

En prenant un scalaire $a \in K$ quelconque on obtient:

$\begin{array}{ll} \varphi(ax+y)&=\varphi \left(a(x_H+\lambda x_o)+(y_H+\mu x_o)\right)\\ &=\varphi ((\underbrace{ax_H+y_H}_{\in H})+(\underbrace{a\lambda + \mu )x_o}_{\in x_o K})\\ &=a\lambda + \mu\\ &=a\varphi(x)+\varphi(y) \end{array}$

Ce qui montre que $\varphi$ est linéaire, de plus son ensemble d'arrivée est K, c'est donc bien une forme linéaire. De plus elle n'est pas nulle (par exemple x_o a pour image 1).

Prenons un $x_H \in H$ . Par décomposition $x H = x H + 0 x o$ donc $\varphi(x_H)=0$ et donc $x_h \in \ker \varphi$ . On a donc $H \subset \ker \varphi$ .

Réciproquement, soit $x \in \ker \varphi$ . Alors ce vecteur n'est pas engendré par x_o et donc appartient à H. On a donc $\ker \varphi \subset H$ et donc par double inclusion $H=\ker \varphi$ .

H est donc le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Supposons que H soit un noyau d'une forme linéaire non-nulle

Soit $\varphi$ cette forme linéaire. Non-nulle, son image n'est pas réduit au singleton ${0}$ , on prend donc un x_o vecteur de E non-nul n'appartenant pas à H, noyau de $\varphi$ . Montrons alors que $E=H\oplus x_o K$ . Soit x dans E. Comme $\varphi (x_o) \neq 0$ , on peut écrire la tautologie suivante:

$x=\underbrace{x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o}_{=x_H} + \underbrace{ \frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)}x_o}_{=y}$

Clairement on a $y \in x_o K$ car $\frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)}$ est bien dans K.

De plus on obtient:

$\begin{array}{ll} \varphi(x_H)&=\varphi\left(x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o\right)\\ &=\varphi(x)-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}\varphi(x_o)\\ &=\varphi(x)-\varphi(x)\\ &=0 \end{array}$

On a donc $x_H \in \ker\varphi=H$ . Donc tout vecteur de E se décompose en somme d'un élément d'une droite vectorielle engendrée par x_o et d'un élément du noyau H d'une forme linéaire non-nulle, ie $E = H + x o K$ . Montrons maintenant que cette somme est directe.

Soit $x \in H \cap x_o K$ . On peut donc écrire $x = λ x o$ avec $\lambda \in K$ . Et donc $\varphi (x) =\lambda \varphi(x_o)$ . Mais comme x est dans H on a également $\varphi(x)=0$ . C'est à dire $λ = 0$ (car $\varphi(x_o) \neq 0$ ) et donc x=0. D'où $H \cap x_o K = \{0\}$ et la somme est directe.

Or on sait que la dimension d'une droite vectorielle est 1 et que nos deux sev en somme directe sur E vérifient $dim H + dim K x o = dim E$ . On en déduit que $dim H = n - 1$ et comme H est un sev de E on a bien que:

H est un hyperplan de E.

Interprétation de ce résultat dans le $\mathbb{R}\,\!$ -espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ :

Toutes les formes linéaires sur $\mathbb{R}^3$ peuvent s'écrire sous la forme suivante : $\phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y,z) \mapsto ax+by+cz$ avec $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$ fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de $\mathbb{R}^3$ peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit $H=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / \ \phi(x,y,z) = ax+by+cz=0\}$

Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan, donc ici d'un plan (vectoriel).

[modifier] Exemples

Dans $E=\mathcal M_n(\mathbb K)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans $\mathbb K$ . L'ensemble des matrices de trace nulle $H=\{A \in E / \ \mathrm{Tr} A =0\}$ est un hyperplan de E.

Dans $E=\mathbb K[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: $H=\{P \in E / \ P(0)=0\}$ est un hyperplan de E.

Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.