Somme directe

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En algèbre, le terme de somme directe s’applique à plusieurs situations différentes

Sommaire

1 Somme directe de sous-espaces vectoriels
- 1.1 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
- 1.2 Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels
  - 1.2.1 Somme directe orthogonale
2 Somme directe externe et produit cartésien
- 2.1 Somme directe externe de deux K-espaces vectoriels
- 2.2 Somme directe externe de plusieurs K-espaces vectoriels
  - 2.2.1 Remarque à propos d'autres structures algébriques
3 Voir aussi

[modifier] Somme directe de sous-espaces vectoriels

[modifier] Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Article détaillé: Sous-espaces supplémentaires

Soient $F 1$ et $F 2$ deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. On dit que $F 1$ et $F 2$ sont en somme directe si et seulement si pour tout élément u de $F 1 + F 2$ , il existe un unique couple $\ (u_1 ; u_2)$ de $F_1 \times F_2$ tel que $u = u 1 + u 2$ .

On dit aussi dans ce cas que la somme $F 1 + F 2$ est directe.

En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels $F 1$ et $F 2$ est directe si la décomposition de tout élément de $F 1 + F 2$ en somme d'un élément de $F 1$ et d'un élément de $F 2$ est unique.

La somme sera alors notée : $F_1 \oplus F_2$ .

On dispose des caractérisations usuelles suivantes :

$F 1$ et $F 2$ sont en somme directe si et seulement si, pour tout $u 1$ de $F 1$ et $u 2$ de $F 2$ ,

$u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0$

$F 1$ et $F 2$ sont en somme directe si et seulement si

$F_1 \cap F_2 = \{0\}$

Cas de la dimension finie : lorsque $F 1$ et $F 2$ sont de dimensions finies, les assertions suivantes sont équivalentes :

La somme $F 1 + F 2$ est directe.
$\dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2)$ .
En juxtaposant ("réunissant") une base de $F 1$ et une base de $F 2$ , on constitue une base de $F 1 + F 2$ .

Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces $F 1$ et $F 2$ de E sont dits supplémentaires lorsque $E = F_1 \oplus F_2$ . Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple $\ (u_1 ; u_2)$ de $F_1 \times F_2$ tel que $\ u = u_1 + u_2$ .

[modifier] Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de E.

On dit qu'une famille $(F_i)_{i=1\cdots k}$ de sous-espaces vectoriels de E est en somme directe si et seulement si, pour tout élément u de la somme $F = \sum_{i=1}^k F_i$ , il existe un k-uplet unique $(u_1 ;u_2; \cdots ;u_k)$ de $F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k$ tel que $u = \sum_{i=1}^k u_i$ .

On dit aussi dans ce cas que la somme F des sous-espaces $(F_i)_{i=1\cdots k}$ est directe.

En d'autres termes, la somme est directe si la décomposition de tout élément de $F = \sum_{i=1}^k F_i$ en somme d'éléments des $F_i\,$ est unique.

Pour désigner une somme directe, on se sert des notations $F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k$ ou $\bigoplus_{i = 1} ^kF_i$ .

Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul :

La somme $F = \sum_{i=1}^k F_i$ est directe si et seulement si :

l'unique k-uplet $(u_1 ;u_2; \cdots ;u_k)$ de $F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k$ tel que $\sum_{i=1}^k u_i = 0$ est celui dont tous les éléments sont nuls.

Remarque : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à $\ \{0\}$ , c'est-à-dire que :

$F_i \cap F_j = \{0\}$ pour tout i et pour tout j, i différent de j.

On s’en convaincra en regardant dans $\R^2$ les sous-espaces vectoriels :

$F_1=\{(x ; 0) , x \in \R\}$

$F_2=\{(y ; y) , y \in \R\}$

$F_3=\{(0 ; t) , t \in \R\}$ .

Leurs intersections deux à deux sont réduites à {(0 ; 0)}, mais leur somme $\ F = F_ 1 + F_2 + F_3$ (égale à $\ \R^2$ ) n'est pas directe.

En effet, les 3 vecteurs $u_1=(1 ; 0),\, u_2=(-1 ; -1),\, u_3=(0 ; 1)$ appartiennent respectivement à $F_1,\, F_2,\, F_3$ ; ils sont non nuls, et tels que $\ u_1 + u_2 + u_3= (0 ; 0)$ : la décomposition du vecteur nul n'est pas unique.

En revanche, on montre que les sous-espaces de la famille des $\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}$ sont en somme directe dans $\ E$ si et seulement si :

$\ \sum_{i=1}^n F_i = E$
$\ \forall k \in \left\{ 1,...,n-1\right\}, \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0_{E}\right\}$

Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a encore l'équivalence des assertions suivantes :

Les $(F_i)_{i=1\cdots k}$ sont en somme directe.
$\sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right)$ .
En juxtaposant une base $\ \mathcal{B}_1$ de $\ F_1$ , ... , une base $\ \mathcal{B}_k$ de $\ F_k$ , on constitue une base de la somme.

Exemple : soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie, et f un endomorphisme de E ayant exactement p valeurs propres (distinctes) appelées $\lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p$ . On désigne par $\ \mathrm{Id}$ l'endomorphisme identique de E.

Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p, $E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id})$ est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre $\ \lambda_i$ .
Les deux propriétés suivantes sont classiques :

La somme $\sum_{i=1}^p E_i$ est directe.
$\bigoplus_{i = 1}^p E_i = E$ si et seulement si f est diagonalisable.

Lorsque c'est le cas, on constitue une base $\ \mathcal{B}$ de E diagonalisant f en juxtaposant une base $\ \mathcal{B}_1$ de $\ E_1$ , ... , une base $\ \mathcal{B}_p$ de $\ E_p$ .

[modifier] Somme directe orthogonale

On désigne ici par E un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille $(F_i)_{i=1\cdots k}$ de sous-espaces vectoriels de E. S'ils sont deux à deux orthogonaux, leur somme est directe. Elle est alors appelée somme directe orthogonale.

Un exemple très simple est l'espace $F^\perp$ constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espace vectoriel F : il est en somme directe avec F. L'égalité $E = F^\perp + F$ n'est pas toujours vérifiée lorsque la dimension est infinie. Par contre, elle l'est dès que $E$ est de dimension finie.

Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits supplémentaires orthogonaux. Un sous-espace vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Des conditions suffisantes sont que l'espace E soit de dimension finie ou que l'espace F soit fermé (preuve). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale.

Lorsque les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :

Les $(F_i)_{i=1\cdots k}$ sont en somme directe orthogonale.
En juxtaposant une base orthogonale $\ \mathcal{B}_1$ de $\ F_1$ , ... , une base orthogonale $\ \mathcal{B}_k$ de $\ F_k$ , on constitue une base orthogonale de la somme.

[modifier] Somme directe externe et produit cartésien

Lorsque deux sous-espaces $F 1$ , $F 2$ d'un espace vectoriel E sont en somme directe, l'application suivante est bijective :

$F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2, (u_1 ; u_2) \mapsto u_1 + u_2$

Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien $F_1 \times F_2$ telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations :

$\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)$ et $\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2)$ ,

où

u 1

v 1

sont dans

F 1

u 2

v 2

sont dans

F 2

, et

α

est dans

K

Ceci incite, si $E 1$ et $E 2$ sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps $K$ , à définir leur somme directe, dite alors externe.

[modifier] Somme directe externe de deux K-espaces vectoriels

La somme directe externe de deux $K$ -espaces vectoriels $E 1$ et $E 2$ est le produit cartésien $E_1 \times E_2$ sur lequel on définit

une addition :

$\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)$

une multiplication externe par les éléments de $K$ :

$\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2)$ (où $\alpha \in K$ )

Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble $E_1 \times E_2$ est un espace vectoriel sur $K$ .

Dès lors, $\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}$ et $\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2$ sont deux sous-espaces de $E_1 \times E_2$ , respectivement isomorphes à $E 1$ et $E 2$ (on a "plongé" $E 1$ , $E 2$ dans le produit cartésien) ; la relation $E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2}$ justifie l'appellation de somme directe externe.

Lorsque $E 1$ et $E 2$ sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

$\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2$

(car $E_1 \times E_2$ est somme directe des deux sous-espaces $\tilde{E_1}$ et $\tilde{E_2}$ , qui ont même dimension que $\ E_1$ , $\ E_2$ respectivement).

[modifier] Somme directe externe de plusieurs K-espaces vectoriels

On définit de même la somme directe externe $\ E_1 \times \cdots \times E_k$ de k espaces vectoriels $E_1, \dots, E_k$ sur le même corps $K$ .

Lorsque $E_1, \dots, E_k$ sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

$\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k$ .

[modifier] Remarque à propos d'autres structures algébriques

On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de groupes additifs, ou d'anneaux, ou de A-modules sur le même anneau A.

Par exemple, si $A 1$ et $A 2$ sont deux anneaux, on définit sur $A_1 \times A_2$ deux lois de composition interne :

une addition :

$\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)$

une multiplication :

$\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1 b_1 ; a_2 b_2)$

Muni de ces deux lois de composition, l'ensemble $A_1 \times A_2$ est un anneau. On notera que même si $A 1$ et $A 2$ sont intègres, leur produit cartésien ne l'est pas : $a 1$ , $a 2$ étant deux éléments non nuls de $A 1$ , $A 2$ respectivement, on a : $\ (a_1 ; 0) \cdot (0 ; a_2) = (0 ; 0)$ .

[modifier] Voir aussi

Espace vectoriel

Opération binaire
numérique	fonctionnelle	en ensemble ordonné	structurelle
élémentaire + addition – soustraction × multiplication ÷ division ^ puissance arithmétique div quotient euclidien mod reste euclidien ∧ PGCD ∨ PPCM combinatoire ( ) coefficient binomial A arrangement	∘ composition ∗ convolution	ensemble de parties ∪ réunion \ complémentation ∩ intersection Δ différence symétrique ordre total min minimum max maximum treillis ∧ borne inférieure ∨ borne supérieure	ensembles × produit cartésien ⊔ union disjointe ^ puissance ensembliste groupes ⊕ somme directe ∗ produit libre ≀ produit en couronne modules ⊗ produit tensoriel Hom homomorphismes Tor torsion Ext extensions	arbres ∨ enracinement variétés connexes # somme connexe espaces pointés ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	vectorielle
	(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel
	algébrique
	[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur
	homologique
	∪ cup-produit • produit d'intersection	séquentielle
	∪ cup-produit • produit d'intersection	+ concaténation
logique booléenne
∧ ET (conjonction)	∨ OU (disjonction)	⊕ OU exclusif	⇒ IMP (implication)	⇔ EQV (coïncidence)