Tenseur

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En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, un tenseur désigne une fonction multilinéaire. En physique et en sciences de l'ingénieur, les tenseurs sont utilisés pour décrire et manipuler diverses grandeurs et propriétés physiques comme le champ électrique, la permittivité, la déformation etc.

Par extension, on utilise souvent le terme tenseur pour désigner un champ de tenseurs, c'est-à-dire une application qui associe à chaque point d'un espace géométrique un tenseur différent.

Sommaire

[modifier] Histoire

Le mot tenseur est issu de l'anglais d'origine latine tensor, mot introduit en 1846 par William Rowan Hamilton pour décrire la norme dans un système algébrique (finalement nommé algèbre de Clifford). Le mot a été utilisé avec son sens actuel par Woldemar Voigt en 1899.

Le calcul différentiel tensoriel a été développé vers 1890 sous le nom de calcul différentiel absolu, et fut rendu accessible à beaucoup de mathématiciens par la publication par Tullio Levi-Civita 1900 du texte classique de même nom (en italien, suivi de traductions). Au XXe siècle, le sujet devient connu sous le nom de analyse tensorielle, et acquit une reconnaissance plus large avec l'introduction de la théorie de la relativité d'Albert Einstein, autour de 1915.

La relativité générale est complètement formulée dans le langage des tenseurs. Einstein a appris à les utiliser, avec grande difficulté, du géomètre Marcel Grossmann ou peut-être de Levi-Civita lui-même. On utilise également les tenseurs dans d'autres domaines, comme par exemple la mécanique des milieux continus.

[modifier] Définitions

[modifier] Mathématiques

Un tenseur est une application multilinéaire. L'algèbre des tenseurs est appelée algèbre tensorielle ou algèbre multilinéaire

[modifier] Définition plus complexe

En géométrie différentielle, un tenseur est un objet défini sur les variétés autorisant à parler de champs d'endomorphismes, de champs d'applications multilinéaires au même titre que les champs de vecteurs. Ils généralisent les outils correspondants d'algèbre linéaire. Les tenseurs sont aussi des outils nécessaires pour effectuer de l'analyse sur les variétés. Parmi les tenseurs importants en mathématiques, citons les métriques riemanniennes ou les tenseurs de courbure.

Il existe plusieurs approches pour définir un tenseur. L'approche formelle, en usage en mathématiques, consiste à définir les tenseurs comme sections globales de fibrés vectoriels obtenus par produit tensoriel, algèbre extérieure et algèbre symétrique à partir de l'espace tangent et de l'espace cotangent. La seconde approche consiste à introduire des matrices de fonctions correspondant à l'expression du tenseur dans des cartes locales, vérifiant des invariances ou contravariances par changements de cartes. Cette approche est systématique en physique, et en particulier en relativité générale, en mécanique générale et en mécanique des milieux continus : les objets ne se posent pas a priori comme sections de fibrés mais s'imposent a posteriori comme tels par cohérence dans les calculs ou dans la théorie.

[modifier] Notion de tenseur

Exemples à l'ordre 0, 1 et 2

Lorsque l'on dispose d'une base d'un espace vectoriel E sur un corps \mathbb{K}, tout vecteur de cet espace peut se décrire par ses coordonnées dans cette base. De même, une application linéaire entre deux espaces vectoriels, lorsque l'on a une base de chacun de ces espaces, peut se décrire par une matrice.

Ainsi, dans une base (\vec e_{1} ,\vec e_{2} ,\vec e_{3} ) donnée, le vecteur \vec u sera décrit par ses composantes (u1, u2, u3). Si l'on change de base, les composantes (les nombres u1, u2 et u3) changent, mais le vecteur \vec u reste le même. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de \vec u dans toutes les bases. Un vecteur est un tenseur dit « d'ordre 1 ».

Une application linéaire f d'un espace E vers un espace F est décrite par une matrice M dont les coefficients dépendent de la base de E et de celle de F. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de f dans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit « d'ordre 2 ».

Un scalaire est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base. On dit que le scalaire est un « tenseur d'ordre 0 ».

[modifier] Généralisation : tenseur d'ordre n

Une autre manière de voir est la suivante : une matrice M peut se noter par ses coefficients (Mij ), ou plutôt (Mij ), voir plus loin — soit deux indices —, un vecteur \vec u par ses composantes (ui ) — soit un indice —, et un scalaire a simplement par lui-même — soit zéro indice. On peut envisager des objets définis avec trois, quatre, n indices (Aijk…).

Un objet défini par n indices et vérifiant les formules de changement de base est un tenseur d'ordre n (cf. distinction entre vecteurs et pseudovecteurs).

Sur un espace vectoriel de dimension finie m, chaque indice peut prendre les valeurs de 1 à m. Un tenseur d'ordre n sur cet espace vectoriel a donc mn coefficients. Si le tenseur « relie » n espaces vectoriels de dimensions différentes m1, m2, … mn , alors le tenseur contient ∏i = 1,…n mi coefficients.

Un tel tenseur d'ordre n représente une application multi-linéaire (forme n-linéaire) de E \times E \times ... \times E dans \mathbb{K} :

T(\vec a~, \vec b~, ..., \vec l~) = a^i b^j ...\ l^u \ T(e_i, e_j, ..., e_u)

On retrouve les coefficients du tenseur T en identifiant T_{ij...u} = T(e_i, e_j, ..., e_u).\

[modifier] Physique - champ de tenseurs

Beaucoup de structures mathématiques appelées informellement 'tenseur' sont en fait des champs de tenseurs, c'est-à-dire d'un tenseur associé à un point de l'espace, et qui varie donc d'un point à l'autre. La Physique mathématique moderne repose sur des équations différentielles posées en termes de quantités tensorielles. Ainsi, les méthodes de calcul différentiel s'appliquent aussi aux tenseurs.

En physique, les premiers tenseurs ont été introduits pour représenter l'état de contrainte et de déformation d'un volume soumis à des forces, d'où leur nom (tensions)[réf. nécessaire].

Notations

Dans les notations, Tijk... représente la composante du tenseur T de coordonnées (i,j,k,...). Quand on veut désigner un tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre de ce tenseur, on peut souligner le nom du tenseur d'autant de trait que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette notation, un vecteur sera noté \underline{u} plutôt que \vec u, et un tenseur de contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté \underline{\underline{\sigma}}. Ceci est particulièrement utile quand on manipule des tenseurs d'ordres différents, ce qui est le cas en déformation élastique, pour laquelle on caractérise le comportement de déformation des matériaux par un tenseur \underline{\underline{\underline{\underline{M}}}} d'ordre 4, et les déformations \underline{\underline{\epsilon}} et contraintes \underline{\underline{\sigma}} par des tenseurs d'ordre 2. Dans le cas le plus simple de comportement élastique linéaire, \underline{\underline{\sigma}}=\underline{\underline{\underline{\underline{M}}}}:\underline{\underline{\epsilon}}.

[modifier] Ordre

L'ordre d'un tenseur est le nombre d'indices matriciels nécessaires pour décrire une telle quantité. Par exemple en mécanique classique masse, température, et autres quantités scalaires sont des tenseurs d'ordre 0, mais force, déplacement et autres quantités vectorielles sont des tenseurs d'ordre 1. La théorie des tenseurs offre des aspects neufs à partir de l'ordre 2 et supérieurs.

[modifier] Valence

Dans les applications physiques, on distingue les indices matriciels, selon qu'ils sont contravariants (en les mettant en exposant) ou covariants (en les mettant en indice), en fonction du comportement de la grandeur tensorielle considéré face à des transformations linéaires de l'espace. La valence d'un tenseur est le nombre des indices matriciels associé au type de chacun d'eux ; des tenseurs de même ordre mais de valences différentes ne se comportent pas de la même façon lors de changement du système de coordonnées. Par ailleurs, un indice covariant peut être changé en indice contravariant par produit tensoriel contracté avec le tenseur métrique. On appelle cette opération élever ou abaisser des indices.

On note la valence en disant que le tenseur est de type (n,m) où n est le nombre d'indices contravariants et m le nombre d'indices covariants. La valence ne note pas l'ordre des indices. La valence est aussi utilisée quand on note le tenseur par une lettre, un indice en haut signifie alors que le tenseur est contravariant pour cet indice, un indice en bas signifie que le tenseur est covariant pour cet indice. On notera donc les vecteurs avec un indice haut, et les formes linéaires avec un indice bas.

Exemples :

Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contravariants. ils sont donc tenseurs de valence (1,0)

Les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants. ils sont de valence (0,1)

L'intérêt d'une telle notation, c'est qu'en cas de changement de base, elle donne directement le nombre de multiplications par la matrice de changement de base à effectuer : n, et par son inverse : m.

Pour le changement de base d'un tenseur (1,1), on aura une multiplication par la matrice de changement de base, et une multiplication par son inverse, exactement comme pour les matrices en algèbre linéaire.


[modifier] Exemples

[modifier] En Physique

En physique, un exemple simple : considérons un bateau flottant sur l'eau. On veut décrire l'effet de l'application d'une force sur le déplacement du centre du bateau dans le plan horizontal. La force appliquée peut être modélisée par un vecteur, et l'accélération que subira le bateau par un autre vecteur. Ces deux vecteurs sont horizontaux. Mais leurs directions, qui devraient être identiques pour un objet de forme ronde, ne le sont plus pour un bateau, qui est plus allongé dans un sens que dans l'autre. La relation entre les deux vecteurs, qui n'est donc pas une relation de proportionnalité, est cependant une relation linéaire, au moins si on considère une force petite. Une telle relation peut être décrite en utilisant un tenseur de type (1,1) (1 fois contravariant, 1 fois covariant) (c'est à dire qu'ici il transforme un vecteur du plan en un autre vecteur du plan). Ce tenseur peut être représenté par une matrice (= tableau de nombres), qui, lorsqu'on la multiplie par un vecteur, donne un autre vecteur. De la même manière que les nombres qui représentent un vecteur changent quand on change de système de coordonnées, les nombres qui représentent le tenseur dans la matrice changent quand le système de coordonnées change.

En sciences de l'ingénieur, on peut également décrire les tensions, les forces intérieures subies par un solide ou un fluide par un tenseur. Le mot tenseur vient effectivement du verbe tendre, qui signifie soumettre à une tension. Considérons un élément de surface à l'intérieur du matériau ; les parties du matériau situées d'un côté de la surface exercent une force sur l'autre côté de la surface (et réciproquement). En général, cette force n'est pas orthogonale à la surface, mais dépendra linéairement de l'orientation de la surface. Nous pouvons la décrire par un tenseur d'élasticité linéaire, tenseur de type (2,0) (2 fois contravariant, 0 fois covariant), ou plus précisément, par un champ de tenseurs de type (2,0), puisque les forces de tension varient de point à point.

[modifier] En mathématiques

Les formes bilinéaires telles le tenseur métrique ou le tenseur de courbure sont des exemples bien connus de tenseurs en géométrie différentielle.

Formellement, le type de tenseur dépend de la manière dont il est défini en terme de produit tensoriel. Par exemple, un tenseur d'ordre 3 pourrait avoir les dimensions 2, 5, 7. Ici les indices vont de 1, 1, 1 jusqu'à 2, 5, 7 ; donc le tenseur aura une valeur à 1, 1, 1, une autre à 1, 1, 2 et ainsi de suite pour un total de 70 valeurs. On peut écrire ce tenseur comme une suite de nombres rangés dans une matrice tridimensionnelle de taille 2*5*7. Le produit des dimensions de la matrice est alors équivalent à l'ordre du tenseur.

Un champ de tenseur associe un tenseur à chaque point d'une variété. Ainsi, au lieu de simplement avoir 70 valeurs, comme dans l'exemple ci-dessus, pour un tenseur de rang 3, et de dimensions 2, 5, 7 ; chaque point de l'espace serait associé à 70 valeurs. En d'autres mots, un champ de tenseur une fonction à valeur tensorielle qui a pour domaine, par exemple, l'espace euclidien.

[modifier] Composantes et changements de base

[modifier] Vecteurs d'un espace à 3 dimensions

Dans la base B (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3), les composantes du vecteur \vec u sont (u1, u2, u3). Dans la base B' (\vec{e'}_1,\vec{e'}_2,\vec{e'}_3), elles sont (u'1, u'2, u'3). On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations.

Dans la base B, les vecteurs de la base B' s'écrivent :

\vec{e'}_{i} = e_{1i}\cdot \vec{e}_{1} + e_{2i}\cdot \vec{e}_{2} + e_{3i}\cdot \vec{e}_{3}

Par définition d'une base, chaque vecteur \vec{e}_{i} se décompose selon une combinaison linéaire unique des vecteurs de B'. On peut ainsi définir la matrice de changement de base P de B vers B' :

P = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix}

les colonnes de la matrice de changement de base sont les coordonnées des vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle. On a alors

(u_{1},u_{2},u_{3}) = P \cdot (u'_{1},u'_{2},u'_{3}) et
(u'_{1},u'_{2},u'_{3}) = P^{-1} \cdot (u_{1},u_{2},u_{3}).

Lorsque les deux bases B et B' sont orthonormées, P vérifie en outre

P − 1 = tP.

Le changement de base se fait par multiplication d'une seule matrice de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 1.

[modifier] Matrices et applications linéaires

Une matrice M représente une application linéaire ƒ d'un espace vers un autre pour une base donnée dans chaque espace. On peut donc changer de base dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. On peut donc définir deux matrices, P1 et P2 pour chacun des espaces. La matrice M' représentant ƒ pour les deux nouvelles bases se calcule donc en faisant

M' = ^{\rm t}P_{1} \cdot M \cdot P_{2}

Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 2.

[modifier] Formes linéaires et changement de base

Considérons un espace à trois dimensions muni d'une base non orthogonale (on va la supposer normée pour simplifier la présentation). En effet, il y a de nombreux exemples dans la nature où il y a des axes « naturels » qui ne sont pas orthogonaux, par exemples les axes de certains cristaux. En fait, lorsqu'un phénomène est anisotrope, on peut souvent trouver des axes dits « principaux » pour lesquels les calculs se simplifient, et ces axes ne sont pas toujours orthogonaux.

Considérons une forme linéaire ƒ sur cet espace, qui à un vecteur \vec u associe un scalaire

f(\vec u) = f^{1}\cdot u_{1} + f^{2}\cdot u_{2} + f^{3}\cdot u_{3}

(les indices relatifs à la forme linéaire sont notés en haut pour permettre de les distinguer). Considérons la base (\vec{e}^{\ *i}), dite « base duale », définie par

\vec{e}^{\ *1} = \vec{e}_{2}\wedge \vec{e}_{3}
\vec{e}^{\ *2} = \vec{e}_{3}\wedge \vec{e}_{1}
\vec{e}^{\ *3} = \vec{e}_{1}\wedge \vec{e}_{2}

on a alors

\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = \delta_{i}^j (symbole de Kronecker)

soit

\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = 1 si i = j
\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = 0 sinon

Si l'on définit le vecteur

\vec{f} = f^{1} \cdot \vec{e}^{\ *1} + f^{2} \cdot \vec{e}^{\ *2} + f^{3} \cdot \vec{e}^{\ *3}

on peut alors écrire

f(\vec u) = \vec{f} \cdot \vec u

La base des fonctions g i « produit scalaire par \vec{e}^{\ *i} »

g^i\ : E \rightarrow \mathbb{R}
\vec u \mapsto \vec{e}^{\ *i} \cdot \vec u

est une base des formes linéaires de l'espace ; on identifie souvent cette base de fonctions (g i ) avec la base de vecteurs (\vec{e}^{\ *i}) elle-même. L'espace vectoriel formé par les formes linéaires est appelé « espace dual » ou « espace réciproque ».

Si l'on fait un changement de base de l'espace direct, alors les composantes du vecteur \vec u se transforment selon

u_{i} = \sum_{j} {p^j}_{i}\cdot u_{j}

p ji est le coefficient de la matrice de changement de base (noté eji dans le paragraphe précédent). En revanche, les composantes de \vec{f} se transforment selon

f^{i} = \sum_{j} {p^i}_{j}\cdot f^{j}

on voit que dans le cas du changement de la base de formes linéaires, on multiplie par la matrice de changement de base, alors que dans le cas du changement de la base de vecteurs, on multiplie par sa transposée.

[modifier] Composantes covariantes et contravariantes

On voit donc que l'on a deux types de composantes. D'une part des composantes de type « vecteur », notées avec un indice en bas (par exemple ui ), obtenues par projection du vecteur sur les axes parallèlement aux autres axes, et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la transposée de la matrice de changement de base (P). Ces composantes sont dites contravariantes.

D'autre part des composantes de type « forme linéaire », notées avec un indice en haut (par exemple ƒi ), obtenues par projection sur les axes perpendiculairement aux axes (\vec{e}^{\ *2} et \vec{e}^{\ *3} sont perpendiculaires à \vec{e}_{1}), et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la matrice « directe » de changement de base (P). Ces composantes sont dites covariantes.

D'après la formule de changement de base des matrices, on voit que celles-ci sont une fois covariantes, une fois contravariantes, on devrait donc noter Mi j. Toutefois, on n'utilise que rarement cette notation tensorielle pour les matrices.

[modifier] Convention d'Einstein

Un tenseur peut avoir des composantes covariantes et contravariantes, ce qui explique que certains indices soient notés en haut et d'autres en bas, par exemple Tlmn.

On adopte souvent la convention de notation d'Einstein qui consiste à sommer lorsqu'un indice se trouve en haut et en bas dans un produit, par exemple

\sum_{j} p^{j}_{i}\cdot u_{j} et \sum_{j} p^{i}_{j}\cdot f^{\ j}

se notent respectivement

p^{j}_{i}\cdot u_{j} et p^{i}_{j}\cdot f^{\ j}

[modifier] Opérations sur les tenseurs

  • Produit scalaire de deux tenseurs de même ordre et de valences différentes pour chacun des indices (tous les indices qui sont contravariants pour l'un sont covariants pour l'autre) : le résultat est un scalaire.
  • Multiplication par un scalaire. Le résultat est un tenseur de même ordre et de même valence.
  • Addition de tenseurs de même ordre et mêmes valences. Le résultat est un tenseur de même ordre et de même valence que les deux tenseurs de départ. Dans ce cas, (\underline{\underline{a}}+\underline{\underline{b}})_{ij} = \underline{\underline{a}}_{ij}+\underline{\underline{b}}_{ij}.
  • Le produit tensoriel entre A d'ordre n, et B d'ordre p produit un tenseur d'ordre (n+p). Les n premiers indices sont repris de A, et les p indices suivants sont repris à partir de B. Leurs valence est la même que l'indice dont ils proviennent. Chaque composante du résultat est le produit :
    - de la composante de A associée aux n premiers indices de la composante du résultat
    - de la composante de B associée aux p derniers indices de la composante du résultat.
    Exemple : Si on représente deux formes linéaires par deux tenseurs (donc d'ordre 1 et covariants), alors le produit tensoriel des deux tenseurs représente une forme bilinéaire, linéaire par rapport à chacune des variables des formes linéaires de départ. La notion de produit tensoriel provient donc directement de la notion de produit de fonctions.
  • Abaissement d'indice : un indice haut peut être changé en un indice bas par multiplication avec le tenseur métrique, gab: Tac=gabTbc (On utilise la convention d'Einstein, le signe somme sur l'indice b est sous-entendu)
    Le résultat est un tenseur de même ordre mais de valence différente : un indice contravariant est devenu covariant dans le tenseur résultat.
  • élévation d'indice : un indice bas peut être changé en indice haut par multiplication avec le tenseur métrique inverse gab: Tac=gabTbc
    Le résultat est un tenseur du même ordre mais de valence différente : un indice covariant est devenu contravariant dans le tenseur résultat.
  • contraction d'un tenseurs sur deux indices i et j, l'un étant covariant et l'autre contravariant. Le résultat est un tenseur d'ordre n-2 où n est l'ordre du tenseur de départ. Les indices i et j ont disparu dans le tenseur résultat ; la valence des autres indices est inchangée. Ta = Tacc Ici on a fait la somme sur toutes les valeurs possibles des deuxièmes et troisièmes indices, quand ceux-ci sont égaux.
  • Quant au produit tensoriel contracté entre A d'ordre n, et B d'ordre p, il produit un tenseur d'ordre (n+p-2). Les n-1 premiers indices proviennent de A (leurs valences respectives sont les mêmes que les n-1 premiers indices de A), les p-1 derniers proviennent de B (leurs valences respectives sont les mêmes que les p-1 derniers indices de B). Le produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une contraction entre l'indice n et l'indice n+1 du tenseur d'ordre n+p.
    Une généralisation de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-4), le triple-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-6), etc. De manière générale, le p-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrire la déformation élastique des matériaux.

[modifier] Opérations sur les champs de tenseurs

  • Gradient : le gradient d'un champ de tenseurs d'ordre n (ce sont les tenseurs qui sont d'ordre n) est un champ de tenseurs d'ordre n+1. Les n premiers indices ont la même valence que le tenseur de départ. L'indice supplémentaire est covariant. C'est une sorte de dérivée spatiale.
  • Divergence. La divergence d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n−1. L'indice manquant est contravariant.

[modifier] Symétrie

Dans le cas de l'ordre 2, un tenseur peut être symétrique ou antisymétrique (ou ni l'un, ni l'autre).

Pour un tenseur symétrique, on a la relation Tab = Tba.

Pour un tenseur antisymétrique, on a la relation Tab = -Tba.

En général, un tenseur n'est ni symétrique, ni antisymétrique. Un tenseur quelconque peut cependant être décomposé en une partie symétrique S et une partie antisymétrique A, avec les relations :

  • Sab = 1/2(Tab + Tba )
  • Aab = 1/2(Tab - Tba )

Les parties symétriques et antisymétriques réunies rassemblent autant d'information que le tenseur originel.

Cette règle peut être étendue aux tenseurs d'ordre quelconque. On dira alors que le tenseur est symétrique pour une paire d'indice, s'il est invariant par échange des deux indices, et qu'il est antisymétrique pour une paire d'indice s'il se transforme en son opposé par échange des deux indices.

Les indices de la paire considérée doivent avoir même valence.(Dans le cas contraire la propriété de symétrie dépendrait de la base choisie).

Dans le cas particulier d'un espace vectoriel de dimension 3, un tenseur antisymétrique d'ordre 2 porte le nom de pseudovecteur. (dont la matrice n'est antisymétrique qu'en base orthonormale ou si...)

[modifier] Voir aussi

[modifier] Liens internes

b:Accueil

Wikibooks propose un ouvrage abordant ce sujet : Calcul tensoriel.

[modifier] Liens externes

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs sous-espace

colinéarité • indépendance linéaire
famille libre ou liée • rang
famille génératrice • base
théorème de la base incomplète

somme • somme directe
supplémentaire
dimension • codimension
droite • plan • hyperplan

morphismes et notions relatives

application linéaire • noyau • conoyau •  lemme des noyaux
pseudo-inverse•  théorème de factorisation • théorème du rang
équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan
forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale
endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre
projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent

en dimension finie

trace • déterminant • polynôme caractéristique
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polynôme minimal • invariants de similitude
réduction • réduction de Jordan • décomposition de Dunford

matrice
enrichissements de structure

norme • produit scalaire • forme quadratique • topologie
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développements

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analyse fonctionnelle • algèbre multilinéaire
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