Famille libre

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Famille.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En algèbre linéaire, une famille libre est une famille de vecteurs linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucun des vecteurs qui la composent ne peut s'écrire comme une combinaison linéaire des autres. Une famille de vecteurs qui n'est pas libre est dite liée.

Article détaillé : Indépendance linéaire.

[modifier] Définition mathématique

Une famille $F = ( f_1 , f_2 , \ldots , f_n )$ d'éléments d'un K-espace vectoriel E est dite K-libre si et seulement si :

$\forall ( \lambda_1 , \lambda _2 , ... , \lambda_n ) \in K^n,\ \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k = 0 \Longrightarrow \forall k \in \{1 , \ldots, n \},\ \lambda_k = 0$

Si en plus la famille est génératrice, c'est une base de E.

[modifier] Voir aussi

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs		sous-espace
colinéarité • indépendance linéaire famille libre ou liée • rang famille génératrice • base théorème de la base incomplète		somme • somme directe supplémentaire dimension • codimension droite • plan • hyperplan
morphismes et notions relatives
application linéaire • noyau • conoyau • lemme des noyaux pseudo-inverse• théorème de factorisation • théorème du rang équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent
en dimension finie
trace • déterminant • polynôme caractéristique polynôme d'endomorphisme • théorème de Cayley-Hamilton polynôme minimal • invariants de similitude réduction • réduction de Jordan • décomposition de Dunford
matrice
enrichissements de structure
norme • produit scalaire • forme quadratique • topologie orientation • multiplication • crochet de Lie • différentielle
développements
théorie des matrices • théorie des représentations analyse fonctionnelle • algèbre multilinéaire module sur un anneau