Pseudo-inverse

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En algèbre linéaire, les pseudo-inverses généralisent la notion d'inverse d'une application linéaire ou d'une matrice. Il existe une notion générale de pseudo-inverse, pour laquelle il n'y a pas d'unicité. Dans le cadre euclidien ou hermitien on peut définir un pseudo-inverse privilégié, parfois appelé pseudo-inverse de Moore-Penrose, ou simplement pseudo-inverse.

Sommaire 1 Pseudo-inverse en algèbre linéaire 1.1 Définition 1.2 Construction des pseudo-inverses 2 Pseudo-inverse dans le cadre euclidien ou hermitien 2.1 Propriétés 3 Calcul de la pseudo-inverse

[modifier] Pseudo-inverse en algèbre linéaire

[modifier] Définition

Soit f une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F. Une application linéaire g de F dans E est appelée pseudo-inverse de f lorsqu'elle satisfait les deux conditions

On montre dans ce cas les propriétés suivantes

• E est la somme directe du noyau de f et de l'image de g
• F est la somme directe du noyau de g et de l'image de f
• f induit un isomorphisme de l'image de g sur l'image de f
• g induit un isomorphisme de l'image de f sur l'image de g, qui est l'inverse de l'isomorphisme précédent.

Il s'agit bien d'une extension de la notion d'inverse dans la mesure où si f admet effectivement un inverse, celui-ci est aussi un, et même l'unique, pseudo-inverse de f.

[modifier] Construction des pseudo-inverses

La description géométrique qui vient d'être donnée pour les pseudo-inverses est une propriété caractéristique de ceux-ci. En effet, si on introduit des supplémentaires K du noyau de f (dans E) et I de l'image de f (dans F), il est possible de leur associer un unique pseudo-inverse g de f. Les restrictions de g aux espaces I et image de f sont parfaitement définies : application nulle sur I, et inverse de l'isomorphisme induit par f sur K, sur Im f. Les deux propriétés de pseudo-inverses sont alors facilement vérifiées en séparant selon les couples d'espaces supplémentaires.

Cette construction montre qu'en général il n'y a pas unicité du pseudo-inverse associé à une application linéaire.

[modifier] Pseudo-inverse dans le cadre euclidien ou hermitien

A ⁺ est l'unique matrice qui vérifient les critères :

1. AA ⁺ A = A;
2. A ⁺ AA ⁺ = A ⁺
3. (AA ⁺ ) ^* = AA ⁺       (AA ⁺ est une matrice Hermitienne)
4. (A ⁺ A) ^* = A ⁺ A       (A ⁺ A est une matrice Hermitienne)

Où M ^* est la transposée de la conjuguée de la matrice M.

[modifier] Propriétés

• La Pseudo-inversion est involutive : (A ⁺ ) ⁺ = A.
• La pseudo-inverse d'une matrice nulle est sa transposée.
• (A^t) ⁺ = (A ⁺ )^t
• 
• (A ^* ) ⁺ = (A ⁺ ) ^*
• , pour α ≠ 0 .

[modifier] Calcul de la pseudo-inverse

Notons k le rang de A, une matrice . A peut donc être décomposée sous la forme A = BC, où B est de taille et C de taille . Ainsi :

A ⁺ = C ^* (CC ^* ) ^{− 1}(B ^* B) ^{− 1}B ^*

Si k = m, alors B peut être la matrice identité. De même, si k = n, C peut être l'identité. Ainsi, la formule se simplifie.

En informatique, la pseudo-inverse se calcule à partir de la décomposition en valeurs singulières : A = UσV ^*

Ainsi, A ⁺ = Vσ ⁺ U ^* .. Pour déterminer σ ⁺ qui est la pseudo-inverse d'une matrice diagonale, il suffit de prendre l'inverse de chaque élément non nul de la diagonale.

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs		sous-espace
colinéarité • indépendance linéaire famille libre ou liée • rang famille génératrice • base théorème de la base incomplète		somme • somme directe supplémentaire dimension • codimension droite • plan • hyperplan
morphismes et notions relatives
application linéaire • noyau • conoyau •  lemme des noyaux pseudo-inverse•  théorème de factorisation • théorème du rang équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent
en dimension finie
trace • déterminant • polynôme caractéristique polynôme d'endomorphisme • théorème de Cayley-Hamilton polynôme minimal • invariants de similitude réduction • réduction de Jordan • décomposition de Dunford
matrice
enrichissements de structure
norme • produit scalaire • forme quadratique • topologie orientation • multiplication • crochet de Lie • différentielle
développements
théorie des matrices • théorie des représentations analyse fonctionnelle • algèbre multilinéaire module sur un anneau