Matrice identité

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En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Nous pouvons l'écrire

{\displaystyle \rm diag}(1,1,...,1)

Puisque les matrices peuvent être multipliées à la seule condition que leurs types soient compatibles, il y a des matrices unité de tout ordre. In, est la matrice unité d'ordre n est donc définie comme une matrice diagonale avec 1 sur chaque entrée de sa diagonale principale. Ainsi :

I_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

Concernant la multiplication des matrices, les matrices unités vérifient que pour tous p, n entiers naturels non nuls et pour toute matrice A à n lignes et p colonnes,

I_n A = A I_p =A \,

Ce qui montre que la multiplication par une matrice unité n'a aucun effet sur une matrice donnée.

En particulier si n=p, In est l'élément neutre pour la multiplication des matrices carrées d'ordre n.


Il est possible aussi de noter les coefficients de la matrice unité d'ordre n avec le symbole de Kronecker ; le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne s'écrit :

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{si } i=j \\ 0 & \mbox{si } i \ne j \end{matrix}\right.\,

et donc la matrice unité I est égale à

I = (\delta_{ij}) \,

Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est trivialement déterminé par le contexte, nous pouvons la noter simplement I.

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