Matrice de Sylvester

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En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.

[modifier] Définition

Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n.

p(z)=p_0+p_1 z+p_2 z^2+\cdots+p_m z^m,\;q(z)=q_0+q_1 z+q_2 z^2+\cdots+q_n z^n.

La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée (n+m)\times(n+m) définie ainsi

  • la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de 0
\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.
  • la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite
  • les (n-2) lignes suivantes s'obtiennent en répétant même opération
  • la ligne (n+1) est formée des coefficients de q, suivis de 0
\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.
  • les lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires

Ainsi dans le cas m=4 et n=3, la matrice obtenue est

S_{p,q}=\begin{pmatrix} p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\ 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\ 0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \\ \end{pmatrix}.


Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.

[modifier] Applications

L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré <n) et y (de degré <m)

x \cdot p + y \cdot q = 0

peut être réécrite matriciellement

(S_{p,q})^{t} \cdot\begin{pmatrix}\tilde x\\\tilde y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

dans laquelle t désigne la transposée, \tilde x est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et \tilde y le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.

Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec degx < degq et degy < degp.

Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.

\deg(\mathrm{pgcd}(p,q)) = m+n-\mathrm{rang}~S_{p,q}.

Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à un.

[modifier] Voir aussi