Matrice de passage

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Une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.

Sommaire

[modifier] Définition

Soient \mathbb K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel.

Soient deux bases B =(e_{1} \dots e_{n}) et B'=(e'_1 \dots e'_n) de E. Pour des raisons mnémotechniques on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base.

On définit ainsi la matrice de passage de B à B', notée P_B^{B'} :

P_B^{B'} = (a_{i,j})_{i,j=1}^n \in \mathcal M_n(\mathbb K) telle que \forall j \in [\![1,n]\!], \quad e'_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i

Les colonnes de cette matrice ne sont autres que les vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

On peut aussi interpréter la matrice de passage comme la matrice représentative de l'application identité, de E muni de la base B' dans E muni de la base B. On a P_{B'}^{B}=\mathcal M_{B'B}(\mathrm{Id}_E) où \mathcal M_{B'B}(\mathrm{Id}_E) est la matrice de IdE relativement à B' et B.

[modifier] Théorème

[modifier] Énoncé

Soit un vecteur x \in E, ayant respectivement pour composantes X=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} et X'=\begin{bmatrix} x'_1 \\ \vdots \\ x'_n \end{bmatrix} dans deux bases B et B'.

Alors X=P_{B}^{B'}X'

[modifier] Démonstration

La décomposition du vecteur dans les deux bases nous donne x=\sum_{j=1}^n x_j e_j=\sum_{j=1}^n x'_j e'_j

De plus, \forall j \in [\![1,n]\!], e'_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i

Par substitution,

x=\sum_{j=1}^n x'_j \sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i
x=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j} x'_j\right) e_i

La décomposition du vecteur étant unique dans chaque base, on peut procéder à l'identification des coefficients:

\forall i \in [\![1,n]\!], x_i=\sum_{j=1}^n a_{i,j} x'_j = \left(P_B^{B'}\cdot X'\right)_i, d'où X=P_B^{B'}X'

[modifier] Inversibilité

Soient B et B' deux bases de E Alors P_B^{B'} est inversible et \left(P_B^{B'}\right)^{-1}=P_{B'}^B

[modifier] Démonstration

P_B^{B'}P_{B'}^B=\mathcal M_{B',B}(\mathrm{Id}_E)\mathcal M_{B,B'}(\mathrm{Id}_E) = M_{B,B}(\mathrm{Id}_E) = I_n

[modifier] Voir aussi