Matrice de Hilbert

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En algèbre linéaire, la matrice de Hilbert est une matrice carrée de terme général Bij = 1 / (i + j − 1). Elle est nommée ainsi en hommage au mathématicien David Hilbert. Les matrices de Hilbert servent d'exemples classiques de matrices mal conditionnées, ce qui en rend l'usage très délicat en analyse numérique. Par exemple, le coefficient de conditionnement (pour la norme 2) de la matrice qui suit est de l'ordre de 4.8 · 105.

Ainsi la matrice de Hilbert de taille 5 vaut

\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt] \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{pmatrix}.

Le déterminant de cette matrice peut être calculé de façon explicite, comme cas particulier d'un déterminant de Cauchy.

Si on interprète le terme général de la matrice de Hilbert comme

B_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx,

on peut y reconnaître une matrice de Gram pour les fonctions puissances et le produit scalaire adapté.

Les matrices de Hilbert sont définies positives.

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