Matrice nulle

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En mathématiques, et en particulier en algèbre linéaire, une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Des exemples de matrices nulles sont:

0_{1,1} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

L'ensemble des matrices de dimension m\times n à coefficients dans un anneau A forme un anneau \mathcal{M}_{m,n}(A). La matrice nulle 0_{\mathcal{M}_{m,n}(A)}, dans \mathcal{M}_{m,n}(A) est la matrice ayant tous les coefficients égaux à 0_A\, , où 0_A\, est l'élément neutre additif de A.

0_{\mathcal{M}_{m,n}(A)} = \begin{bmatrix} 0_A & 0_A & \cdots & 0_A \\ 0_A & 0_A & \cdots & 0_A \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0_A & 0_A & \cdots & 0_A \end{bmatrix}

La matrice nulle est l'élément neutre additif de \mathcal{M}_{m,n}(A). Cela signifie que pour toute matrice M\in\mathcal{M}_{m,n}(A) on a

0_{\mathcal{M}_{m,n}(A)}+M = M +0_{\mathcal{M}_{m,n}(A)} = M

Il existe exactement une matrice nulle de dimension m \times n ayant des coefficients dans un anneau donné, ainsi lorsque le contexte apparaît clairement 0 désigne la matrice nulle. En général l'élément zéro d'un anneau est unique et est noté typiquement 0 sans aucun indice indiquant l'anneau le contenant. Ainsi les exemples précédents représentent les matrices nulles sur n'importe quel anneau.

La matrice nulle représente l'application linéaire envoyant tous les vecteurs sur le vecteur nul.

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