Matrice de permutation

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Une matrice de permutation est une matrice carrée qui vérifie les propriétes suivantes :

  • les coefficients sont 0 ou 1 ;
  • il y a un et un seul 1 par ligne ;
  • il y a un et un seul 1 par colonne.

Ainsi : \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix} est une matrice de permutation.

Sommaire

[modifier] Propriétés

[modifier] Lien avec le groupe symétrique

Les matrices de permutations carrées de taille n sont en bijection avec les permutations de l'ensemble {1,2,...n}. Si σ est une telle permutation, la matrice correspondante est Pσ de terme général

\left[P_\sigma\right]_{ij}=\delta_{i,\sigma(j)}=\begin{cases} 1 & \hbox {si } i=\sigma(j)\\ 0&\hbox{sinon}\end{cases}

Cette bijection est un morphisme de groupes

P_\sigma.P_\tau = P_{\sigma\circ \tau}

Ce qui signifie que l'ensemble des matrices de permutation forme un sous-groupe du groupe général linéaire d'indice n, isomorphe au groupe symétrique {\mathfrak S}_n.

[modifier] Orthogonalité

Les colonnes de la matrice Pσ sont les vecteurs de la base canonique de \R^n, dont on a modifié l'ordre. En effet si on note e1,...,en ces vecteurs,

P_\sigma(e_j)=e_{\sigma(j)}\,

Ainsi Pσ envoie une base orthonormale sur une base orthonormale : c'est une matrice orthogonale.

La matrice transposée de Pσ est également son inverse, et vaut P_{\sigma^{-1}}.

Le déterminant de la matrice est +1 si et seulement si les vecteurs images de la base canonique forment une base directe, c'est-à-dire si et seulement si σ est une permutation paire. Dans le cas contraire, le déterminant est -1.

La trace de Pσ est égale au nombre d'entiers i tels que σ(i)=i, c'est-à-dire au nombre de points fixes de σ.

[modifier] Utilisations

[modifier] Application aux opérations élémentaires

Icône de détail Article détaillé : opération élémentaire.

De même que toute permutation est produit de transpositions, toute matrice de permutation est un produit de matrices de permutation élémentaires c'est-à-dire associées aux transpositions. Il est aisé de voir que multiplier à gauche (respectivement à droite) une matrice A par une telle matrice de permutation élémentaire revient à faire l'échange de deux lignes (resp. deux colonnes) de A.

Plus généralement, multiplier une matrice A à droite par une matrice de permutation P revient à permuter les colonnes de la matrice A, en suivant la permutation correspondant à P. Multiplier une matrice A à gauche par une matrice de permutation P revient à permuter les lignes de la matrice A, en suivant la permutation inverse.

[modifier] Application aux matrices stochastiques

Icône de détail Article détaillé : Matrice stochastique.

Les matrices de permutation sont des cas particuliers de matrices doublement stochastiques. Plus précisément, on peut montrer que l'ensemble des matrices stochastiques est une partie convexe, dont les matrices de permutation forment les points extrémaux.

Notamment, toute matrice doublement stochastique est barycentre à coefficients positifs de matrices de permutation.

[modifier] Voir aussi