Matrice élémentaire

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Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité.

Les opérations élémentaires sur une matrice sont les suivantes :

  • échanger deux lignes ou deux colonnes
  • ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne (respectivement colonne)
  • multiplier une ligne ou une colonne par un scalaire différent de zéro

[modifier] Exemples

Opération effectuée sur la matrice identité I3 type de matrice
permutation ligne 1 et 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} matrice de permutation
ligne n°3 * 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix} matrice de dilatation
ligne n°3 + 5*ligne n°2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ \end{pmatrix} matrice de transvection

Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire revient à effectuer l'opération élémentaire correspondante sur les lignes de A. Multiplier A à droite par une matrice élémentaire revient à faire une opération sur les colonnes.

[modifier] Voir aussi