Matrice antisymétrique

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Sommaire

[modifier] Définition

En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :

tA = -A

c’est-à-dire si elle est écrite avec des coefficients sous la forme A = (ai,j):

pour tous i et j, ai,j = - aj,i

[modifier] Exemple

Par exemple, la matrice suivante est antisymétrique:

\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

Le cas où les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique 2 est très particulier. Dans ce cas, − A = A et donc une matrice est antisymétrique si elle est symétrique. Dans tout ce qui suit, les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique différente de 2.

[modifier] Propriétés

  • Toutes les entrées de la diagonale principale d'une matrice antisymétrique ont un zéro: en effet il faut que chaque élément de la diagonale vérifie aussi ai,j = - aj,i ; donc le seul nombre ayant cette caractéristique est 0 ; et ainsi la trace d'une matrice antisymétrique est nulle.
  • L'espace des matrices symétrique et celui des matrices antisymétrique sont supplémentaires dans l'espace des matrices carrées. En effet, toute matrice carrée se décompose de façon unique de la façon suivante :

A = \frac{A+\,\!^tA}2+\frac{A-\,\!^tA}2.

  • Ces espaces sont mêmes orthogonaux si on munit l'espace des matrices carrés du produit scalaire canonique dont une des expressions est justement :

(A,B) \mapsto Tr(^tA.B)

  • Les matrices antisymétriques de type (n,n) forment un espace vectoriel de dimension (n2 - n)/2. La base canonique est la famille \left(A_{ij}\right)_{1\leq i < j \leq n} de matrices Aij qui comportent un à la ième ligne et jème colonne et moins un à la jème ligne et ième colonne.
  • Dans le cas réel :

Cet espace vectoriel est l'espace tangent au groupe orthogonal O(n). Dans ce sens, nous pouvons assimiler les matrices antisymétriques à des « rotations infinitésimales ».

Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexes et ses valeurs propres sont imaginaire pure. En fait, si A est symétrique réelle, iA est matrice hermitienne.

En fait, les matrices antisymétriques de type (n, n) forment une algèbre de Lie utilisant le crochet de Lie

[A,B] = AB - BA\,

et c'est l'algèbre de Lie associée au groupe de Lie O(n).

Une matrice G orthogonale, a un déterminant égal à 1, i.e. est un élément de la composante connexe du groupe orthogonal où se trouve la matrice unité, si précisément il existe une matrice antisymétrique A telle que:

G=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.

[modifier] Voir aussi