Matrice de De Casteljau

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Les matrices de de Casteljau sont des matrices de Markov triangulaires (ou leurs transposées suivant les conventions) principalement utilisées dans l'algorithme de De Casteljau.

Pour une taille N fixée, il y deux matrices D0 et D1 définies par

[D_0]_{i,j} = \left\{ \begin{matrix} B_i^j(1/2) & si & j<i \\ 0 & sinon &. \end{matrix} \right.
[D_1]_{i,j} = \left\{ \begin{matrix} B_i^{N-j}(1/2) & si & j<i \\ 0 & sinon &. \end{matrix} \right.

où les B_i^j sont les polynômes de Bernstein


Exemple (pour N=4)

D_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 & 0 \\ 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8 \\ \end{pmatrix} et D_1 = \begin{pmatrix} 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8 \\ 0 & 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}


Remarque : Il n'est pas nécessaire d'évaluer les polynômes de Bernstein en 1/2 car les matrices resteraient markoviennes (Cf. Propriété des polynômes de Bernstein). N'importe quelle valeur de [0,1] pourrait convenir, mais ce choix augmente la rapidité de l'algorithme en moyenne.

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