Élément neutre

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En mathématiques, un élément neutre (ou élément identité) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi. Un ensemble possédant un élément neutre est dit unifère.

[modifier] Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\top$ . Soit $e\in E$ .

$e$ est dit élément neutre à gauche si $\forall x \in E,\ e \top x = x$ .
$e$ est dit élément neutre à droite si $\forall x \in E,\ x \top e = x$ .
$e$ est dit élément neutre s'il est neutre à droite et à gauche.

[modifier] Exemples

L'élément neutre ne l'est que pour la loi considérée :

0 est l'élément neutre de l’addition arithmétique, ainsi que du « ou » binaire.
1 est l'élément neutre de la multiplication arithmétique, ainsi que du « et » binaire.
Id_n est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées d'ordre n.
Le mot vide ε est l'élément neutre de la concaténation des chaînes de caractères.
Si $E = {e 1, e 2}$ et est muni de la loi de composition interne $\top$ définie par $e_1\top e_1=e_2\top e_1=e_1$ et $e_2\top e_2=e_1\top e_2=e_2$ , alors $e 1$ et $e 2$ sont tous les deux éléments neutres à gauche. Il n'y a pas dans ce cas d'élément neutre à droite.

[modifier] Propriétés

Il est possible que l'élément neutre à gauche (resp. à droite) ne soit pas unique.

Par exemple, considérons un ensemble $E$ contenant au moins deux éléments . on peut définir une loi $G$ sur $E$ par la formule $G (x, y) = x$ et une loi $D$ par la formule $D (x, y) = y$ . Pour la loi $G$ , tout élément est neutre à droite et aucun n'est neutre à gauche. Pour la loi $D$ , tout élément est neutre à gauche et aucun n'est neutre à droite.

En revanche, s'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite (a priori égaux ou non), alors l'ensemble admet un unique élément neutre, et en outre, tout élément neutre à gauche (resp. à droite) lui est égal. En effet, cette propriété est une conséquence du lemme suivant : soit un ensemble muni d'une loi de composition interne $\top$ ayant un élément neutre à gauche $e g$ et un élément neutre à droite $e d$ , alors $e_g=e_g\top e_d=e_d$ .