Matrice compagnon

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En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

p(t)=c_0 + c_1 t + \dots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n\,

est la matrice carrée définie de la façon suivante :

C(p)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\ \end{bmatrix}.

(même si certains considèrent qu'il s'agit de la transposée de cette matrice).

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme p(t) possède n racines distinctes λ1,...,λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,

où V est la matrice de Vandermonde associée à λ1,...,λn.

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

  • A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K
  • le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
  • il existe un vecteur v dans Kn tel que {v, Av, A2v,...,An-1v} est une base de Kn

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que leurs polynômes caractéristiques se divisent entre eux ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.

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