Matrice à diagonale dominante

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Sommaire

[modifier] Définition

En algèbre linéaire, une matrice A=((a_{i,j})_{i,j \in [\![1,n]\!] }) est dite à diagonale strictement dominante lorsque \forall i \in [\![1,n]\!], |a_{i,i}|>\sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|, c'est à dire lorsque pour chaque ligne de la matrice, la somme en modules des termes d'une ligne (en dehors du terme sur la diagonal) est inférieur ou égal au module du terme de la diagonale de cette même ligne.

[modifier] Lemme d'Hadamard

[modifier] Enoncé

Si A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!] }) est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.

[modifier] Démonstration

Par la contraposée :

Supposons A non inversible alors son noyau n'est pas réduit à zéro, il existe donc X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\... \\ x_n \end{pmatrix}, X \neq 0 tel que AX = 0.

AX=0 => \forall i \in [\![1,n]\!] \sum_{j=1}^n a_{i,j}.x_j =0

Comme X \neq 0, il existe x_{i_0} \neq 0 tel que |x_{i_0}|=max \left\{{|x_i|, i \in [\![1,n]\!]}\right\}.

-a_{i_0,i_0}.x_{i_0}=\sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n a_{i_0,j}.x_j

=> |a_{i_0,i_0}.x_{i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}.x_j|

=>|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|.\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}| comme \forall j \in [\![1,n]\!], \frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant 1 .

Finalement : |a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}| ce qui termine la démonstration.

[modifier] Voir aussi