Matrice triangulaire

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En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.

Sommaire

[modifier] Matrices triangulaires supérieures

Ce sont des matrices carrées dont les valeurs sous la diagonale principale sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & \cdots & a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2} & & & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n,n}\\ \end{bmatrix}

A est triangulaire supérieure ssi :

\forall i>j,\quad a_{i,j}=0

[modifier] Matrices triangulaires inférieures

Ce sont les matrices carrées dont les valeurs au-dessus de la diagonale principale sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{bmatrix} a_{1,1} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & 0\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & \cdots & a_{n,n}\\ \end{bmatrix}

A est triangulaire inférieure ssi :

\forall i<j,\quad a_{i,j}=0

[modifier] Propriétés des matrices triangulaires

  • Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale.
  • Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (resp. supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (resp. supérieure).
  • La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une triangulaire inférieure, et vice-versa.
  • Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A était supérieure, inférieure sinon).
  • Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux.
  • Si A est une matrice triangulaire d'ordre n alors le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux :
\det{(A)} = \prod_{i=1}^n a_{i,i}

[modifier] Voir aussi