Matrice semi-simple

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En algèbre linéaire, la notion de matrice semi-simple constitue une généralisation de la notion de matrice diagonalisable. Elle permet de discriminer deux types d'obstruction à la diagonalisabilité : d'une part les obstructions liées à l'arithmétique du corps de coefficients dans lequel la matrice est considérée, et d'autre part les obstructions qui demeurent indépendantes de ce corps.

Une matrice $A$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ est dite semi-simple sur $\mathbb{K}$ si tout sous-espace invariant par $A$ possède un supplémentaire invariant par $A$ .

[modifier] Résultats généraux

La semi-simplicité se caractérise à l'aide du polynôme minimal de la matrice considérée : une matrice à coefficients dans $\mathbb{K}$ est semi-simple si et seulement si son polynôme minimal est sans facteur carré (c'est-à-dire qu'il n'admet aucun diviseur qui soit le carré d'un autre polynôme) dans $\mathbb{K}[X]$ .

En particulier, dans le cas où toutes les racines du polynôme minimal de $A$ appartiennent à $\mathbb{K}$ , ceci se particularise en : $A$ est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable.

Si le corps des coefficients a la propriété d'être parfait (par exemple tout corps de caractéristique nulle, comme le corps des nombres rationnels ou le corps des nombres réels, ou tout corps fini), c'est-à-dire que tous les polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps n'ont que des racines simples dans une clôture algébrique de ce corps, la caractérisation peut s'écrire : une matrice est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable dans une clôture algébrique du corps.

Démonstration

Si le polynôme minimal M de A admet un carré P² comme diviseur, alors la matrice A n'est pas semi-simple. En effet, le sous-espace Im(P(A)) est dans ce cas un sous-espace stable, et, si S désigne un supplémentaire stable de ce sous-espace, alors $\frac{M}{P}(A)(S)\subset S\cap Im(P(A))$ d'une part par stabilité, et d'autre part, car P divise M/P. Il s'en suit que M/P est un polynôme annulateur de A, en contradiction avec la définition de polynôme minimal. Réciproquement, si le polynôme minimal M de A est sans facteur carré, que S désigne un sous-espace stable par A, alors le polynôme minimal N de A considéré en restriction à S est un diviseur de M. On vérifie alors que S est le noyau de N(A), et admet comme supplémentaire stable le noyau de M/N(A), d'après le lemme des noyaux.

Dans le cas d'un corps parfait, le polynôme minimal est sans facteur carré si et seulement s'il est séparable, c'est-à-dire qu'il se scinde en facteurs simples dans une clôture algébrique de $K$ . On reconnaît bien une caractérisation classique de la diagonalisabilité dans une clôture algébrique.

[modifier] Un exemple dans un corps non parfait

Les définitions et résultats qui précèdent peuvent dépendre du corps $\mathbb{K}$ dans lequel on se place.

Voici un exemple quelque peu pathologique, qui permet d'observer certaines subtilités.

Soit $\mathbb{F}_2$ le corps à deux éléments, et soit $\mathbb{K}=\mathbb{F}_2(Y)$ , le corps des fractions rationnelles sur $\mathbb{F}_2$ . Définissons la matrice

$A=\begin{pmatrix} 0&Y\\1&0 \end{pmatrix}.$

Le polynôme caractéristique de cette matrice est $χ A (Z) = Z 2 - Y$ , dont le terme constant $Y$ n'est pas un carré dans les fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbb{F}_2$ . En effet, si c'était le carré de $p (Y) / q (Y)$ , on devrait avoir $Y q (Y) 2 = p (Y) 2$ . Le premier membre de cette relation est de degré impair en $Y$ et son second membre est de degré pair, il y a donc une contradiction. Le polynôme $χ A$ est donc irréductible : s'il admettait une factorisation, celle-ci serait de la forme $Z 2 - Y = (a Y + b)(c Y + d)$ . On aurait donc $a c = 1$ , $a d + b c = 0$ et $b d = Y$ , d'où l'on tire $a 2 d 2 = Y$ et on a une contradiction. Ceci montre que la matrice $A$ n'a pas de valeur propre dans $\mathbb{K}$ . Elle est donc semi-simple sur $\mathbb{K}$ .

On considère maintenant l'extension $\mathbb{L}=\mathbb{K}[Y]/(Y-X^2)$ , obtenue en adjoignant à $\mathbb{K}$ une racine carrée de $Y$ , notée $X$ . On vérifie très facilement que $\mathbb{L}$ est bien un corps, qui contient $\mathbb{K}$ ; c'est le corps de décomposition de $A$ .

Maintenant, $χ A (Z) = Z 2 - X 2 = (Z - X) 2$ n'est plus irréductible, et $A$ a comme valeur propre double $X$ . Si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice scalaire $X I$ , donc égale à cette matrice. Mais on constate que $A$ n'est pas une matrice scalaire. Elle n'est donc pas diagonalisable et donc pas semi-simple sur $\mathbb{L}$ .

[modifier] Articles liés

[modifier] Références

Jean-Marie Arnaudiès et José Bertin, Groupes, algèbres et géométrie, Ellipses (1993).

[modifier] Voir aussi

v · d · m Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire