Drapeau (mathématiques)
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Un drapeau de l'espace vectoriel de dimension finie E est une famille de sous espaces successifs de E, inclus les uns dans les autres, et dont les dimensions augmentent de 1 en 1.
Formellement, si E est de dimension n il s'agit d'une famille de n+1 sous-espaces vectoriels de E telle que:
Exemple : si E est l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau de E.
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[modifier] Base adaptée à un drapeau
A toute base de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés : .
Réciproquement, un drapeau possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs ei ainsi : ei appartient à Ei mais pas à Ei − 1.
[modifier] Drapeau stable par un endomorphisme
Si u est un endomorphisme de E, alors on dit que le drapeau est stable par u si .
Par exemple si on reprend pour E l'espace et le drapeau formé des espaces successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc...
[modifier] Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux
Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:
- u est trigonalisable.
- Il existe un drapeau de E stable par u. (ou un drapeau u-stable)
[modifier] Les drapeaux dans le cadre euclidien
L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.
Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.