Lemme de Zorn
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En mathématiques, Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un lemme de la théorie des ensembles qui affirme :
Lemme de Zorn — Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal.
Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Max Zorn et Kazimierz Kuratowski. L'énoncé correspond au choix habituel du couple (1,3) dans la définition d'un ensemble inductif ; si on y choisit le couple (1,4) on obtient un énoncé (apparemment) plus fort, parfois bien utile.
Ce « lemme » n'en est un que si l'on admet l'axiome du choix : en effet, les quatre énoncés obtenus en variant le choix de couple dans l'article ensemble inductif, sont équivalents à cet axiome. On peut donc aussi bien considérer le lemme de Zorn comme un axiome possible, et l'« axiome du choix » comme un théorème qui serait sa conséquence.
L'intérêt de ce lemme est de permettre une utilisation aisée de l'axiome du choix sans avoir à utiliser la théorie des ordinaux. Cependant, pour qui connaît cette dernière, les constructions par récurrence transfinie sont plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives.
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[modifier] Applications
Le lemme de Zorn permet de montrer que tout espace vectoriel admet une base (en particulier, base de Hamel). Cependant, dans le cas des espaces vectoriels de dimension fini, il n'est pas nécessaire d'utiliser le lemme de Zorn, il n'est donc pas nécessaire de supposer l'axiome du choix.
[modifier] Exemples
(en vrac et incomplet dans ce chantier)
- existence d'ultrafiltres non principaux
- existence de la clôture algébrique d'un corps
- théorème de Hahn-Banach
- existence d'automorphismes de corps non continus de C
- existence d'idéaux maximaux (théorème de Krull)
- théorème de Tychonov (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)
- théorème de Zermelo (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)
[modifier] Histoire
[modifier] Références
- Paul J. Campbell, (1978), The Origin of “Zorn's Lemma”. Historia Mathematica, February 1978 vol. 5, Issue 1, pp 77–89. Elsevier, accès en ligne restreint sur le site de la revue [1].
- Casimir Kuratowski (1922), Une méthode d'élimination des nombres transfimis des raisonnements mathématiques, Fundamenta Mathematicae, T 3, Warszawa 1922, accès en ligne sur le site de la revue [2].
- Max Zorn, (1935), A remark on method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 41, 1935, pp 667-670, accès en ligne sur le site de la revue [3].
