Sous-groupe

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Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.

Dans cet article, $(G,*)\,$ désigne un groupe d'élément neutre $e \,$ .

Sommaire

1 Définitions
2 Caractérisation
3 Propriété
4 Exemples
5 Théorème de Lagrange
- 5.1 Corollaire
6 Liens avec les homomorphismes
7 Liens avec les treillis
8 Voir aussi

[modifier] Définitions

Soit H un sous-ensemble de G. On dit que $(H,\star)\,$ est un sous-groupe de $(G,*)\,$ si $(H,\star)$ est un groupe dont la loi $\star\,$ s'obtient par restriction de $*\,$ à $H \times H \,$ .

On peut aussi dire que $H$ est un sous-groupe de $G$ s'il existe un monomorphisme (ou un morphisme injectif) de $H$ dans $G$ , dans ce cas là $H$ est rarement inclus dans $G$ .

Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire $*\,$ .

[modifier] Caractérisation

Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide, inclus dans G et :

$\forall (x,y) \in H^2, x*y^{-1} \in H$

[modifier] Propriété

L'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, leur notation est la même aussi bien dans H que dans G. Par définition un sous groupe est lui-même un groupe, c'est a dire qu'il possède aussi une loi de composition interne, un élément neutre ( étant le même que celui du groupe ) et si tout élément du sous groupe admet un symétrique appartenant lui même au sous groupe .

[modifier] Exemples

[modifier] Sous-groupe des entiers relatifs

G un sous-groupe de Z si et seulement s'il existe un entier n tel que G soit égal à nZ.

Démonstration

Le sous-ensemble nZ est clairement stable pour l'opération et passage à l'opposé. C'est donc un sous-groupe de Z.

Réciproquement, soit n le PGCD de G. G est alors inclus dans nZ. D'après le théorème de Bézout n appartient à G et donc nZ est inclus dans G. Donc G=nZ.

QED

[modifier] Sous-groupe d'un groupe cyclique

Soit G un groupe cyclique d'ordre p.q où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors il existe un unique sous-groupe d'ordre p, il est cyclique et engendré par g^q si g est un élément générateur de G.

La démonstration est donnée dans Groupe cyclique.

[modifier] Sous-groupe engendré par une partie

Article détaillé : Génération d'un groupe.

Soit $S \subset G$ une partie de $G$ .

Il existe un plus petit sous-groupe de $G$ contenant $S$ , appelé sous-groupe engendré par S, et noté $\left \langle S \right \rangle$ .

[modifier] Théorème de Lagrange

Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que :

[G : H] |H| = |G|

où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.

[modifier] Corollaire

Tout groupe d'ordre premier est cyclique et isomorphe à $\frac {\mathbb Z} {p \mathbb Z}$ où $p$ est l'ordre du groupe.

[modifier] Liens avec les homomorphismes

La notion de sous-groupe est stable pour les homomorphismes de groupe. On l'exprime mathématiquement de la façon suivante :

Soit $f : G \rightarrow G' \,$ un homomorphisme de groupe.

$H \mbox{ sous-groupe de } G \Rightarrow f(H)\,\mbox{ sous-groupe de } G' \,$

$H' \mbox{ sous-groupe de } G' \Rightarrow f^{-1}(H') \mbox{ sous-groupe de } G \,$

Article détaillé : homomorphisme de groupe.

[modifier] Liens avec les treillis

Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes $A$ et $B$ est leur intersection $A \cap B$ . La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit $\left \langle A,B \right \rangle$ .

Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G.