Application identité

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En mathématiques, sur un ensemble $X$ donné, une application identité ou fonction identité est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est utilisée comme argument :

$\forall x\in X,\ f(x)=x\in X$ .

Le graphe de l'application identité est appelée la diagonale de l'espace produit $X \times X$ . Pour $X=\mathbb{R}$ , l'ensemble des nombres réels, le graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

[modifier] Notations

L'application identité sur $X$ est notée $id X$ ou $Id X$ . quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble sur lequel on travaille, on note l'application identité $id$ ou $Id$ .

Elle est parfois notée $1 X$ , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec la fonction indicatrice d'une partie $A$ d'un ensemble $X$ .

[modifier] Propriétés remarquables

Pour toute application d'un ensemble $X$ dans un ensemble $Y$ , on a :

$f\circ \mathrm{id}_X=f=\mathrm{id}_Y\circ f$

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de $X$ dans lui-même.

L'application identité est une bijection de $X$ dans lui-même.

L'ensemble des bijections d'un ensemble $X$ dans lui-même, muni de la composition de fonctions, constitue un groupe (appelée groupe symétrique) non vide, dont l'application identité est l'élément neutre.

[modifier] En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies $T$ et $T'$ définies sur un même ensemble $E$ . Si l'application identité de $(E, T)$ dans $(E, T')$ est continue, on dit que la topologie $T$ est plus fine que $T'$ .