Identité de Bézout

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.

En arithmétique modulaire, l'identité de Bézout donne une condition d'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :

$a \cdot x + b \cdot y = d$

d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b et d sont des coefficients entiers relatifs.

Le théorème de Bézout affirme que l'équation $a \cdot x + b \cdot y = 1$ admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.

La première démonstration actuellement connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes, démonstration notablement plus difficile.

Sommaire

1 Identité de Bézout dans Z
2 Identité de Bézout dans K[X]
3 Extension aux anneaux principaux quelconques

[modifier] Identité de Bézout dans Z

[modifier] Théorème de Bézout

Théorème — Étant donnés deux entiers relatifs $a$ et $b$ , si $d$ est le PGCD de $a$ et de $b$ alors il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $x\cdot a + y\cdot b = d$

En particulier, deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $x\cdot a + y\cdot b = 1$

Démonstration

Si $a$ et $b$ sont nuls, leur PGCD est nul et la propriété est vérifiée. On exclut ce cas dorénavant, en prenant par exemple $a$ non nul.

Si $A = \{xa+yb; (x;y) \in \Z^2\}$ , on montre que le plus petit élément strictement positif de $A$ est le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$ .

En effet $A \cap \N^*$ est non vide (il contient la valeur absolue de $a$ ) donc contient un plus petit élément $d 0 = x 0 a + y 0 b$ . La division euclidienne de $a$ par $d 0$ a pour reste $r$ qui est un entier naturel élément de A car s'écrit $a - q d 0$ . C'est un entier plus petit que $d 0$ , il ne peut donc pas appartenir à $A \cap \N^*$ , donc r est nul. Cela signifie que $d 0$ divise a. De même, $d 0$ divise b. Donc $d 0$ est un diviseur commun à a et b.

Enfin, soit $d$ un autre diviseur commun à $a$ et $b$ . Comme $d$ divise $a$ et $b$ , $d$ divise $x 0 a + y 0 b$ donc $d$ divise $d 0$ . $d 0$ est bien le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ et il existe deux entiers $x 0$ et $y 0$ tels que $p g c d (a, b) = a x 0 + b y 0$ .

Enfin, l'existence de deux entiers tels que $d = a x + b y$ n'assure pas que $d$ soit le PGCD de $a$ et $b$ mais seulement que $d$ est un multiple du PGCD. En effet, $a$ et $b$ étant des multiples de leur pgcd, $a x + b y$ est un multiple du PGCD donc $d$ est un multiple du PGCD de $a$ et $b$ .

En revanche, l'existence de deux entiers $x$ et $y$ tels que $a x + b y = 1$ assure que 1 est un multiple du PGCD de a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de $a$ et $b$ est 1 donc seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Des entiers $x$ et $y$ convenables pour obtenir l'identité de Bézout peuvent être déterminés par l'algorithme d'Euclide étendu. De tels entiers ne sont cependant pas uniques.

Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et nous pouvons écrire

$(-3) \cdot 12 + 1 \cdot 42 = 6$

et aussi

$4 \cdot 12 + (-1) \cdot 42 = 6$ .

Si le PGCD $d$ est non nul, à partir d'un couple solution $(x 0, y 0)$ , il est possible d'obtenir toutes les autres solutions en faisant varier $k$ dans $\Z$ :

$a \cdot \left(x_0 - k \cdot {b \over d}\right) + b \cdot \left(y_0 + k \cdot {a \over d}\right) = d$

[modifier] Application aux équations diophantiennes

L'équation 12x + 42y = 18 admet aussi des solutions puisque 18 est un multiple du PGCD de 12 et 42. On peut trouver une solution particulière de cette équation en multipliant par 3 une solution particulière de l'équation 12x + 42y = 6. Cette solution particulière trouvée, l'ensemble des solutions est l'ensemble des couples $(x 0 - 7 k, y 0 + 2 k)$ où k parcourt $\Z$ .

En revanche l'équation 12x + 42 y = 16 n'admet pas de solution car 16 n'est pas un multiple du pgcd de 12 et 42.

[modifier] Applications

Le théorème de Bézout intervient dans la démonstration du théorème de Gauss.

[modifier] Généralisation

Théorème — Étant donnés des entiers relatifs $a 1$ , ..., $a n$ , si $d$ est le PGCD de $a 1$ , ..., $a n$ alors il existe des entiers relatifs $x 1$ , ..., $x n$ tels que $x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n = d$

En particulier, $a 1$ , ..., $a n$ sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe des entiers relatifs $x 1$ , ..., $x n$ tels que $x_1\cdot a_1 + \cdots + x_n\cdot a_n = 1$ .

En d'autres termes, quand les $a i$ ne sont pas tous nuls, le PGCD de $a 1$ , ..., $a n$ est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à coefficients entiers, de $a 1$ , ..., $a n$ .

[modifier] Identité de Bézout dans K[X]

L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un corps K

Théorème — Étant donné une famille $\left(P_i\right)_{i\in I}$ de polynômes de $\mathbb{K}[X]$ , si $Δ$ est un PGCD de la famille $\left(P_i\right)_{i\in I}$ , il existe une famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de polynôme de $\mathbb{K}[X]$ telle que $\Delta = \sum_{i\in I} A_iP_i$

En particulier, les polynômes $\left(P_i\right)_{i\in I}$ sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe une famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de polynômes de $\mathbb{K}[X]$ telle que $1 = \sum_{i\in I} A_iP_i$ .

[modifier] Extension aux anneaux principaux quelconques

L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre anneau principal. C'est-à-dire, si $A$ est un anneau principal, et $a$ et $b$ sont des éléments de $A$ , et $d$ est un plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ , alors il existe des éléments $x$ et $y$ dans $A$ tels que :