Utilisateur:Yves/Electromagnétisme: lois locales et intégrales

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Cet article a pour but de mettre en évidence la complémentarité des mathématiques Équation aux dérivées partielles et de la physique dans l'étude de l'électromagnétisme: de l'électrostatique aux équations de Maxwell, de la lumière à la formulation de la relativité restreinte.

Une loi physique s'exprime par une fonction de l'espace et du temps (4 variables) et cette fonction est solution d'équations linéaires; cette linéarité entraine la recherche de base de fonctions solutions que les physiciens appelle modes ou harmoniques.

De façon simplifiée à une dimension : $e^{j\cdot x} \ \ est \ \ solution \ \ de \ \ \frac{d^2 f(x)}{dx^2}+ f(x)=0$

et à quatre dimensions:

$e^{j\phi}=e^{j\cdot(\omega\cdot t- \vec{k} \cdot \vec{r})} \ \ est \ \ solution \ \ de \ \ \left( \frac{1}{c^{2}} \frac{{\partial}^{2}}{{\partial}t^{2}} -\vec{\nabla}^{2} \right)f(x,y,z,ct)=0$

Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Cet article fait partie de la série
formulaire de physique

Optique

Électro- Magnéstatique

Physique quantique

Thermodynamique

Mécanique des fluides

Mécanique

Relativité restreinte

Trou noir

Analyse vectorielle

Sommaire

1 Géométrie classique
2 Electrostatique
- 2.1 exemples de calculs mathématiques conduisant à des formules physiques
  - 2.1.1 formes intégrales
3 Magnétostatique
4 induction magnétique et électrique
5 Les potentiels
6 Equations de Maxwell
- 6.1 Notation avec
7 formalisme de la relativité
- 7.1 Le voyage dans le futur des autres

[modifier] Géométrie classique

Un point M de l'espace est caractérisé par sa position:

$\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ le vecteur position au point M et... à l'instant $t$ qui ne dépend pas du référentiel: on dit que t est universel.

En ce point M, on peut définir une fonction f(x,y,z) et exprimer que $df(x,y,z)= \frac {\partial f}{\partial x} dx+\frac {\partial f}{\partial y} dy+\frac {\partial f}{\partial z} dz = \overrightarrow{\nabla f}\cdot d\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{grad }f\cdot d\overrightarrow{OM}$

L'on voit qu'il y a trois notations différentes d'écrire la même chose et la plus explicite étant: $df(x,y,z)= \frac {\partial f}{\partial x} dx+\frac {\partial f}{\partial y} dy+\frac {\partial f}{\partial z} dz$

[modifier] Electrostatique

$ρ(P, t)$ est la densité de charge électrique locale en ce point P et à cet instant t.
à noter la loi locale de Conservation de la charge électrique; Si $\vec{j}$ désigne le vecteur densité volumique de courant et $ρ$ la densité volumique de charge : $div\,\vec{j}+\frac{\partial\,\rho}{\partial\,t}=0$

On a donc des charges ou densité de charges distribuées dans l'espace en différents points P_i et qui sont les sources du champ produit dans tout l'espace.

$\vec{E}(M,t)=E_x (x,y,z,t)\vec{i}+E_y(x,y,z,t)\vec{j}+E_z(x,y,z,t)\vec{k}$ le vecteur champ électrique au point M.

$\epsilon_0\,$ est la permittivité diélectrique du vide, ce qui est à préciser.

La lois de base de l'électrostatique : $\vec {E}(x,y,z) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o} \left(\frac{\vec r}{r^3} \right) = - \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o} \overrightarrow {grad} \left( \frac{1}{r}\right) = - \overrightarrow {grad} \left( V(x,y,z) \right)$ , c'est à dire la loi de Coulomb est solution d'équations dites locales.

[modifier] exemples de calculs mathématiques conduisant à des formules physiques

Du calcul de dérivation $\frac {\partial \left( \frac{1}{r} \right)} {\partial x}= \frac {\partial \left( \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} \right)} {\partial x}= - \frac {x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}= - \frac {x}{r^3 }$

On obtient: $\overrightarrow {grad} ( \frac {1}{r}) =- \frac{\vec r}{r^3}$ :Ce résultat est une égalité purement mathématique et on obtient l'expression correspondante de la physique en simplement multipliant $\overrightarrow {grad} ( \frac {1}{r}) =- \frac{\vec r}{r^3}$ par la constante physique : $\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o}$ pour une charge q1 ponctuelle placée en O:

$\vec {E}(x,y,z) = \vec {E}(M) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o} \left(\frac{\vec r}{r^3} \right) =- \overrightarrow {grad} \left( \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_o} \left(\frac{1}{r} \right) \right)=- \overrightarrow {grad} \left( V(x,y,z) \right)$

de la même manière on peut démontrer mathématique par dérivations que: $\mathrm{div}(\frac{\vec r}{r^3} ) \ = 0 \ \ et \ \ \overrightarrow{rot(\frac{\vec r}{r^3} )} = 0$ pour r non nul et et on obtient les expressions correspondante de la physique appelées équations locales : $\mathrm{div}\ \overrightarrow{E(M)} \ =\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{E(M)}= 0 \ \ et \ \ \overrightarrow{rot\overrightarrow{E(M)}} =\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{E(M)}= 0$

Tout ceci étant linéaire reste vrai pour une distribution quelconque de charges et donc on peut retenir que:

En électrostatique, le champ électrique en un point M est le gradient du potentiel scalaire V(M); ce qui signifie que l'on obtient les composantes du champ électrique par dérivations partiellles de V(x,y,z) par rapport aux coordonnées x, y, z. On exprime cela en disant que E et V sont liés localement.

Le champ électrique doit vérifier, là où il n'y a pas de charge les équations locales, divergence nulle et rotationnel nul. Et comme la divergence d'un gradient est appelé laplacien, le potentiel V doit vérifier l'équation de Laplace.

Là où il y a des charges les équations deviennent des équations avec second membres; si les charges ne sont pas ponctuelles mais penvent se décrire en termes de densité de charges, on obtient:

$\mathrm{div}\ \overrightarrow{E(M)} \ =\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{E(M)}=\frac{\rho(M)}{\epsilon_0} \ \ et \ \ \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{\rho(M)}{\epsilon_0}$

Cette formule, à gauche, physiquement signifie que là où il y a des charges qui produisent une densité de charges non nulle la divergence du champ électrique est non nulle et là où il n'y a pas de charges,ou autant de charges + que de charges -, la divergence du champ électrique est nulle; à droite son équivalent en termes de dérivées partielles. suivant le point M considéré l'équation aux dérivées partielles est avec ou sans second membre.

[modifier] formes intégrales

il existe un résultat mathématique qui dit que lorsque la divergence d'un champ est nulle, ce champ est à flux conservatif.

Dans Théorème de Stokes,on trouve:

La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

$\oint_{\partial S} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_V (\mathrm{div} X) \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$

V est un volume délimité par une surface S fermée.

Son application associée avec l'équation locale donne le Théorème de Gauss (électromagnétisme)lorsqu'on l'applique au champ électrique.

$\oint\int_S \vec E(x,y,z) \cdot d \vec S =\int\int\int_V (\mathrm{div} \vec E(x,y,z)) \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz = \frac{1}{\varepsilon_0}\int\int\int_{V_\rho} \rho(x,y,z)dx dy dz = \frac{\sum Q_{int}}{\varepsilon_o}~$

Si l'on prend un volume qui ne contient pas de charges alors le champ est à flux conservatif c'est à dire que:

$\oint\int_S \vec E \cdot d \vec S = 0 ~$ et donc il suffit de limiter l'application du thèorème là où il y a des charges d'où le résultat : $\frac{\sum Q_{int}}{\varepsilon_o}~$

[modifier] Magnétostatique

$\vec{j}(\vec{r},t)$ le vecteur densité de courant.
$\vec{B}(\vec{r},t)$ le vecteur champ magnétique.
$\mu_0\,$ la perméabilité magnétique du vide.

Voir Électrostatique magnétostatique (formulaire)#champ magnétique pour les démontrations montrant que: $\left(\frac{\vec{v}_{1}\wedge\vec{r}_{12}}{r_{12}^3}\right)$ est une fonction à rotationnel et à divergence nulle en (2) et que l'on a :::: $\overrightarrow{rot} \left(\frac{\vec{v}_{1}}{r}\right) = \frac{\vec{v}_{1}\wedge \vec{r} }{r^3} \ \Longleftrightarrow \ \vec{B_1}(2) = \overrightarrow{rot}\vec{A_1}(2)$

relation qui exprime que le champ magnétique peut se déduire ou « dérive » d'un potentiel appelé le potentiel vecteur.

Il existe une équation dite locale par les physiciens ou aux dérivées partielles par les mathématiciens qui donne le rotationnel du champ magnétique en fonction du vecteur densité de courant. Elle s'écrit :

$\mathrm{rot}\ \overrightarrow{B(M)} \ =\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{B(M)}= ( \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})\vec {i}+( \frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})\vec {j}+( \frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\vec {k} = \mu_0 \overrightarrow{j(M)}$

Cette formule signifie que là où il y a des densité de courant non nulle le rotationnel du champ magnétique est non nul et là où il n'y a pas de courant, le rotationnel du champ magnétique est nul; or il existe un résultat mathématique qui dit que lorsque le rotationnel d'un champ est nul, ce champ est circulation nulle.

Dans Théorème de Stokes,on trouve: La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

$\oint_{\partial S}\vec V \cdot \mathrm d\vec l = \iint_{S}\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec V \cdot \mathrm d\vec S$

où $\mathrm d\vec l$ est le vecteur directeur de la courbe en tout point, $\overrightarrow\mathrm{rot}\ \vec V= \nabla \wedge \vec V$ le rotationnel de $\vec V$ , et $d \vec S$ le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique).

[modifier] induction magnétique et électrique

$\overrightarrow{\mathrm{rot}\ \overrightarrow{E(M)}} \ = \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{B(M)}}{\partial t}$

Cette relation exprime qu'une variation dans le temps du champ magnétique produit un rotationnel non nul du champ électrique ; cela induit une force sur les charges mobiles d'un conducteur ou force électromotrice (f.e.m)induite. Cet effet est connu sous le nom de Loi de Lenz.

$\overrightarrow{\mathrm{rot} \ \overrightarrow{B(M)}} \ = \ \mu_0 \ \varepsilon_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t}= \ \mu_0 \ (\varepsilon_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t})$

De façon identique une variation dans le temps du champ électrique produit un rotationnel non nul du champ magnétique et cela se produit par exemple dans la partie diélectrique d'un condensateur en alternatif où il n'y a pas de courant pour produire le champ magnétique; ce terme qui a les dimensions d'un courant: $\ \varepsilon_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t}$ est parfois appelé courant de déplacement

[modifier] Les potentiels

Les champs électriques et magnétiques peuvent se déduire de fonctions dites potentiels au point M. en statique $\overrightarrow{E(M)} \ = - \overrightarrow{grad(V)} \ \ et \ \ \overrightarrow{B(M)} \ = \overrightarrow{\mathrm{rot} \ (\overrightarrow{A(M)})}$

Et si l'on tient compte des lois d'induction:

$\overrightarrow{E(M)} \ = - \overrightarrow{grad(V)} \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{A(M,t)}}{\partial t} \ \ et \ \ \overrightarrow{B(M)} \ = \overrightarrow{\mathrm{rot} \ (\overrightarrow{A(M)})}$

[modifier] Equations de Maxwell

Les équations locales de l'électrostatique et de la magnétostatique complétées par les lois de l'induction, c'est à dire en impliquant et en introduisant une variation dans le temps, conduisent aux équations locales de l'électromagnétisme:

$\overrightarrow{\mathrm{rot} \ \overrightarrow{B(M)}} \ = \ \mu_0 (\overrightarrow{j(M)} \ + \ \varepsilon_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t}) \ \ et \ \ \overrightarrow{\mathrm{rot}\ \overrightarrow{E(M)}} \ = \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{B(M)}}{\partial t}$

Ces équations, si on les considèrent en des points de l'espace où il n'y a ni charges ni courant, deviennent:

$\overrightarrow{\mathrm{rot} \ \overrightarrow{B(M)}} \ = \ \mu_0 ( \ \varepsilon_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t}) \ \ et \ \ \overrightarrow{\mathrm{rot}\ \overrightarrow{E(M)}} \ = \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{B(M)}}{\partial t}$

En analyse vectorielle on démontre mathématiquement que:

$\overrightarrow{\operatorname{rot} (\overrightarrow{\operatorname{rot}(\overrightarrow{Vecteur})})} = \overrightarrow{\operatorname{grad}}( \operatorname{div}( \overrightarrow{Vecteur})) - \Delta (\overrightarrow{Vecteur} )$

en appliquant cette relation au champs électrique qui dans le vide doit satisfaire: $\mathrm{div}\ \overrightarrow{E(M)} \ = 0$ , on obtient mathématiquement que:

$\overrightarrow{\operatorname{rot} (\overrightarrow{\operatorname{rot}(\overrightarrow{E(M)})})} = 0 - \Delta \vec E(M)$

On utilise alors la relation physique d'induction magnétique:

$\overrightarrow{\operatorname{rot} (\overrightarrow{\operatorname{rot}(\overrightarrow{E(M)})})}=\overrightarrow{\operatorname{rot} ( \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{B(M)}}{\partial t})} = \ - \ \frac{\partial (\overrightarrow{\operatorname{rot} (\overrightarrow{B(M)})})} {\partial t} = \ - \ \frac{\partial (\mu_0 ( \ \varepsilon_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t}))} {\partial t} = \ - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial ( \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t})} {\partial t}$

pour en déduire mathématiquement, en la combinant avec la relation d'analyse vectorielle, que:

$\Delta\vec{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}$

Ce qui est dénommé l'Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell et qui correspond à une équation classique de Propagation des ondes

tout ce qui a été fait ci dessus peut se faire de façon à obtenir:: $\Delta\vec{B} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}$

On a donc finalement obtenu que les champs électriques et magnétiques doivent dans le vide satisfaire une équation d'onde, c'est à dire être de la forme

$\sin (\omega\cdot t- \vec{k} \cdot \vec{r}) \ \ avec \ \ \omega= \frac{2\pi}{T} \ \ et \ \ \lambda= c\cdot T \ \ et \ \ \vec{k} = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\vec{e_r}$

[modifier] Notation avec $\vec {\nabla}$

$\vec {\nabla}\wedge \ \overrightarrow{B(M)} \ = \ \mu_0 (\overrightarrow{j(M)} \ + \ \varepsilon_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t}) \ \ et \ \ \vec {\nabla}\wedge \overrightarrow{E(M)} \ = \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{B(M)}}{\partial t}$

$\vec {\nabla}\wedge (\vec {\nabla}\wedge (\overrightarrow{Vecteur})) =\vec {\nabla}( \vec {\nabla}\cdot \overrightarrow{Vecteur}) - \vec {\nabla}^2 (\overrightarrow{Vecteur} )$

en appliquant cette relation au champs électrique qui dans le vide doit satisfaire: $\vec {\nabla}\cdot \vec{E(M)} \ = 0$ , on obtient mathématiquement que:

$\vec {\nabla}\wedge (\vec {\nabla}\wedge(\overrightarrow{E(M)})) = 0 - \vec {\nabla}^2 \vec E(M) ={\vec \nabla}\wedge ( { \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{B(M)}}{\partial t} }) = { \ - \ \frac{\partial (\vec {\nabla}\wedge \overrightarrow{B(M)})}{\partial t} } =\ - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial ( \frac{\partial \overrightarrow{E(M)}}{\partial t})} {\partial t}$
$E_x(x,y,z,t) = - \frac{\partial V(x,y,z,t)}{\partial x} \ - \ \frac{\partial A_x(x,y,z,t)}{\partial t} \ \ et \ \ {B_x(x,y,z)} = \frac{\partial A_y(x,y,z,t)}{\partial z}- \frac{\partial A_z(x,y,z,t)}{\partial y}$

[modifier] formalisme de la relativité

Calculs_relativistes#les lois de l'électromagnétisme donne une autre façon d'écrire les équation de l'électromagnétisme:

la conservation de la charge électrique :

$\frac{{\partial}\rho}{{\partial}t}+\nabla\cdot\vec{j}=0$ en utilisant le quadri-vecteur courant $j^\mu=({\rho}c,\vec{j})= ({\rho}c,j_x,j_y,j_z)= \rho (c,\vec{v})$ et l'opérateur $\nabla^\mu = ( \frac{\partial}{{\partial}ct},\vec{\nabla} ) =\left( \frac{\partial}{\partial ct},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$ devient dans ce formalisme $\nabla^\mu \cdot j_{\mu} = 0$

l'équation de propagation d'une onde: $\frac{1}{c^{2}} \frac{{\partial}^{2}}{{\partial}t^{2}} -\vec{\nabla}^{2} \ \ devient \ \ \nabla^{\mu}\cdot\nabla_{\mu}$ est appelé le D'Alembertien et est noté $\Box$ , une sorte de Laplacien à 4 dimensions.

les potentiels électromagnétiques : $(\frac{V}{c},\vec{A})=A^\nu$ forment un quadrivecteur

et le champs électromagnétique qui s'en déduit : $\left\{\begin{matrix} \vec{E}=-{\nabla}V-\frac{\partial\vec{A}}{{\partial}t}\\ \vec{B}=\nabla\times\vec{A} \end{matrix}\right.$ s'écrit $F^{\alpha\beta} \ = \ \left( \, \nabla^{\alpha} A^{\beta} - \nabla^{\beta} A^{\alpha} \, \right) \$ c'est à dire sous forme des 6 composantes du tenseur 'champ électromagnétique' antisymétrique: en relativité les deux champ électrique et magnétique ne forme qu'un tenseur antisymétrique ayant 6 composantes non nulles.

Dans Équation de Maxwell#Équation de propagation pour le quadri-potentiel en jauge de Lorentz les équations de l'électromagnétisme sont écrites en termes de quadri-potentiel avec terme de sources, on obtient pour le membre de gauche :

$\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} \ = \ \partial_{\alpha} \left( \, \partial^{\alpha} A^{\beta} - \partial^{\beta} A^{\alpha} \, \right) \ = \ \Box A^{\beta} \ - \ \partial^{\beta} \left( \, \partial_{\alpha} A^{\alpha} \, \right)$

Dans la jauge de Lorenz $\partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0$ , le second terme disparaît, et l'équation de Maxwell avec terme de sources se réduit à une équation de propagation pour le quadri-potentiel :

$\Box A^{\mu}(x) \ = \ - \ \mu_{0} \ j^{\mu}(x)$

[modifier] Le voyage dans le futur des autres

Ou le paradoxe des jumeaux :

Rappelons ce paradoxe :

On considère deux jumeaux A et B. A entreprend un long voyage puis revient vers B. A est alors censé avoir vieilli moins que B. Un paradoxe est soulevé si, en se plaçant du point de vue de A, il considère que c'est B qui voyage et qui devrait avoir moins vieilli que lui. Par conséquent, il n'y a aucune raison de trouver une dilatation du temps de l'un par rapport à l'autre.

Pour lever le paradoxe, il faut repérer où se situe une dissymétrie :

B se situe dans un référentiel inertiel $\mathbb R$ et n'en change pas. Dans un premier temps, A se situe dans un référentiel inertiel $\mathbb R'$ se déplaçant à la vitesse v par rapport à $\mathbb R$ , puis A fait demi-tour. Il change alors de référentiel inertiel et se trouve cette fois dans un référentiel inertiel $\mathbb R''$ se déplaçant à la vitesse -v par rapport à $\mathbb R$ .

La dissymétrie provient donc du fait que A change de référentiel inertiel, et pas B. Dans ce qui suit, on va illustrer par l'effet Doppler l'évolution des vies de A et de B. Nous verrons que lorsque A et B s'éloignent l'un de l'autre, l'effet Doppler des signaux qu'ils s'envoient l'un vers l'autre est identique (la fréquence des signaux est diminuée dans le même rapport). Lorsque A et B se rapprochent l'un de l'autre, il en est de même (la fréquence des signaux est augmentée dans le même rapport). Mais l'inversion de l'effet Doppler dépend uniquement de A, et B n'y joue aucun rôle. Ceci expliquera que, du point de vue de A ou de B, B a davantage vieilli que A.

On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de

$\gamma = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac {1}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=5/4$

Si T₀ est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T₁ = γT₀ = 5/4 années, en parcourant vγT₀= 3/5×5/4 T₀ année-lumière= 3/4 T₀ a.l.

(a.l. signifie année-lumière ou distance parcourue par la lumière en un an)

Pour simplifier prenons un voyage de T₀ = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo avec émission en continu.

Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne

$T_r = \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {8}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 2\times T_0$

Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.

Supposons que A s'arrète au bout d'un an, sans revenir.

Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T₁ du voyage de A dans le référentiel de B.

Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T₁ du voyage de A dans le référentiel de B.

Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :

Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T₁ = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :

$T_r = \frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {2}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 1/2\times T_0$

A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T₁.