Formulaire de relativité restreinte

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Sommaire

1 Les notations
2 Le paramètre angulaire
3 L'invariant de la relativité restreinte
4 Les transformations de Lorentz
5 La dilatation du temps
6 La contraction des longueurs
7 Loi de composition des vitesses
8 Le quadrivecteur énergie-impulsion
9 Énergie cinétique
10 Formules de changement de repère
11 Effet Doppler-Fizeau
12 Articles connexes

[modifier] Les notations

Systèmes d'axes parallèles

Les formules établissent le passage entre les coordonnées (t, x ) d'un événement dans le repère inertiel fixe, disons celui de la Terre, et les coordonnées (t ’, x ’ ) du même événement dans le repère mobile, disons de la fusée, laquelle se déplace le long de l'axe des x avec la vitesse v.

On suppose que les origines du temps coïncident à

$t\,=\,t'\,=\,0$

On pose :

$\beta \,=\,v/c$

[modifier] Le paramètre angulaire

Pour simplifier les formules il est utile d'introduire le paramètre angulaire défini par les formules suivantes :

$\beta \,=\,\tanh\theta$ soit $\theta \,=\, \mathrm{atanh}\beta$

À l'aide de ce paramètre on peut écrire :

$\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2} = (1 - \tanh^2\, \theta)^{-1/2} = \cosh \,\theta$

$\beta\gamma \,=\, \beta (1 - \beta^2)^{-1/2} = \tanh\theta \,\cosh \,\theta = \sinh\,\theta$

[modifier] L'invariant de la relativité restreinte

La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées

$c^2\tau^2\,=\,c^2t^2 - (x^2 + y^2 + z^2) = \,c^2t'^2 - (x'^2 + y'^2 + z'^2)$

et définit le temps propre $\,\tau\,.$

[modifier] Les transformations de Lorentz

$\begin{cases}ct = \gamma (ct'+ \beta x')\\ x = \gamma (x' + \beta ct')\\ y = y'\\ z = z' \end{cases}$

ce qui donne sous forme matricielle (plus facile à visualiser):

$\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \beta\gamma & 0 & 0\\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct'\\x'\\y'\\z' \end{pmatrix}$

En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on obtient des expressions analogues aux formules de changement d'axes de coordonnées par rotation plane :

$\begin{cases} ct= ct'\cosh\,\theta + x'\sinh\,\theta \\ x = ct' \sinh\,\theta + x'\cosh\,\theta \end{cases}$

En sens inverse

$\begin{cases}ct' = \gamma (ct - \beta x)\\ x' = \gamma (x - \beta ct )\\ y' = y\\ z' = z \end{cases}$

$\begin{cases} ct'= \ ct\cosh\,\theta - x\sinh\,\theta \\ x' = -ct \sinh\,\theta + x\cosh\,\theta \end{cases}$

[modifier] La dilatation du temps

Si l'horloge de la fusée mesure la durée $\Delta\,t'$ entre deux événements se produisant dans cette fusée, donc séparés par une distance spatiale $\Delta\,x'=0$ , la durée mesurée dans le laboratoire fixe de la Terre est

$\Delta t = \Delta t'\cosh\,\theta = \gamma \Delta t' = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\,.$

La durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.

[modifier] La contraction des longueurs

Si la fusée est de longueur L’ dans son propre repère, sa longueur L mesurée par la distance entre les deux points de la Terre en coïncidence avec l'avant et l'arrière de la fusée au même instant (sur Terre), donc correspondant à $\Delta t\,=\,0$ , est donnée par

$L = L'/\gamma = L' \sqrt{1 - (v^2/c^2)}\,.$

La longueur mesurée sur Terre est plus petite que la longueur propre de la fusée.

[modifier] Loi de composition des vitesses

Un obus est tiré dans la fusée avec une vitesse w ’ par rapport au repère de cette fusée, dans la direction du mouvement. La vitesse w de l'obus par rapport à la Terre est

$w \,=\, \frac{w'+v}{1 + (w' v/c^2)}\,.$

En utilisant les paramètres angulaires

$\alpha'\,=\,\mathrm{atanh}(w'/c)$

$\alpha\,=\,\mathrm{atanh}(w/c)$

$\theta\,=\,\mathrm{atanh}(v/c)$

on a la loi additive

$\alpha\,=\,\alpha'+\theta$

[modifier] Le quadrivecteur énergie-impulsion

$\begin{cases} p_t=E/c = mc \ dt/d\tau\\ p_x = m\ dx/d\tau\\ p_y =m\ dy/d\tau\\ p_z=m\ dz/d\tau\,. \end{cases}$

Comme

$dt/d\tau\,=\,\gamma \equiv (1-\beta^2)^{-1/2}\,,$

on a

$E \,=\,\gamma mc^2$

$p \equiv (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)^{1/2} = m\gamma\beta c= m v /\sqrt{1 - (v^2/c^2)}$

Aux faibles vitesses $v\,\ll\,c$

$E \,=\, mc^2 + (1/2) m v^2\,.$

On a toujours la relation

$p\,=\,\beta E/c\,.$

La quantité suivante est invariante dans un changement de repère

$E^2 - p^2c^2\,=\,m^2c^4$

Pour un photon, m = 0 et

$E\,=\,pc$

[modifier] Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'une particule est

$K\, = E - m c^2 \,=\,m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}} - 1\right)\,.$

Pour $v\ll c$

$K\,= \,(1/2) m v^2\,$

et pour $v\simeq c$

$K \simeq E \simeq pc = \frac{mc^2}{\sqrt{2(1-\beta)}}\equiv \frac{mc^2}{\sqrt{2[1-(v/c)]}}\,.$

[modifier] Formules de changement de repère

Ce sont les formules de Lorentz

$\begin{cases} E/c= \gamma (E'/c + \beta p'_x)\\ p_x = \gamma (\beta E'/c + p'_x)\\ p_y = p'_y\\ p_z = p'_z \end{cases}$

$\begin{cases} E/c= (E'/c)\cosh \theta + p'_x \sinh \theta\\ p_x = (E'/c)\sinh\theta + p'_x \cosh\theta\\ p_y = p'_y\\ p_z = p'_z \end{cases}$

Transformations inverses

$\begin{cases} E'/c= \gamma (E/c - \beta p_x)\\ p'_x = \gamma (-\beta E/c + p_x)\\ p'_y = p_y\\ p'_z = p_z \end{cases}$

$\begin{cases} E'/c= (E/c)\cosh \theta - p_x \sinh \theta\\ p'_x = -(E/c)\sinh\theta + p_x \cosh\theta\\ p'_y = p_y\\ p'_z = p_z \end{cases}$

[modifier] Effet Doppler-Fizeau

Effet Doppler

$\nu\,$ étant la fréquence reçue sur Terre, $\nu'\,$ la fréquence émise par la source, $\theta'\,$ l'angle que fait le photon avec l'axe Ox dans le repère de cette source, $\theta\,$ l'angle avec l'axe Ox dans le repère terrestre, $v\,$ la vitesse de la source par rapport à la Terre et $v_r\equiv v\cos\theta'$ la vitesse radiale, on a

$\nu\,=\,\gamma\,(1 + \beta\cos\theta') \nu'\equiv \frac{1 + (v_r/c)}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\,\nu'$

Aux faible vitesses $v\ll c$

$\frac{\Delta\nu}{\nu} \equiv \frac{\nu - \nu'}{\nu'} \simeq \frac{\nu - \nu'}{\nu} = \frac{v_r}{c}\,.$

Si l'étoile s'éloigne, v est positif, $cosθ'$ est négatif, $v_r\,=\,v\cos\theta'$ est négatif, de sorte que la fréquence diminue (la longueur d'onde augmente, c'est le décalage vers le rouge).