Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

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L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

[modifier] Pour le champ $E$

On part de la relation :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right)-\Delta\vec{E}$

dans le vide, la charge volumique étant nulle, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

$\operatorname{div} \vec{E}=0$

et avec Maxwell-Faraday

$\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$

la relation initiale devient :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\left(-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) = - \Delta\vec{E}$

Grâce au théorème de Schwarz on peut permuter les opérateurs spatiaux et temporels et on a :

$-\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}\right) = - \Delta\vec{E}$

or le vecteur densité de courant $\vec\jmath$ est nul aussi, l'équation de Maxwell-Ampère devient donc :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

d'où :

$\Delta\vec{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}$

[modifier] Pour le champ $B$

On part de la relation :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div} \vec{B}\right)-\Delta\vec{B}$