Induction électrique

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En électromagnétisme, l'induction électrique est un champ vectoriel noté $\vec{D}(\vec{r},t)$ = D(r,t) en fonction de la position dans l'espace $\vec{r}$ = r et du temps t, ou encore $\vec{D}(\vec{r},\omega)$ = D(r, $ω$ ) en fonction de la position dans l'espace $\vec{r}$ =r et de la fréquence $ω$ , qui apparait dans les équations de Maxwell des milieux . Il est encore appelé champ déplacement électrique ou densité de flux électrique.

[modifier] Unités

Dans le système d'unités de mesures internationales dit SI, D est mesuré en Coulombs par mètres carrés, c'est-à-dire C/m² ou encore C.m^-2.

Ce choix d'unités résulte de l'équation simplifiée dite de Maxwell-Ampère :

$\vec{\mathrm{rot}} \ \vec{H} \ = \ \vec{J} \ + \ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ ,

soit encore

$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}} {\partial t}$ ,

où H est exprimé en Ampère par mètres (A.m^-1), et J en Ampère par mètres carrés (A.m^-2). D doit donc être exprimé en Ampère par mètres carrés fois des secondes (A.m^-2.s), ce qui donne des Coulombs par mètres carrés (C.m^-2), car le Coulomb est par définition la quantité d'électricité traversant une section d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité de 1 ampère pendant 1 seconde (1 C = 1 A.s).

[modifier] Relation avec le champ électromagnétique

En général, on considère les milieux dits linéaires, $\vec{D}(\vec{r},\omega)$ est alors relié au champ électrique $\vec{E}(\vec{r},\omega)$ par la relation

$\vec{D}(\vec{r},\omega) \ = \ \epsilon(\vec{r},\omega) * \vec{E}(\vec{r},\omega)$

où $\epsilon(\vec{r},\omega)$ représente la permittivité absolue du milieu, qui est une matrice 3x3 dans les milieux anisotropes, et une fonction dans les milieux isotropes. Cette relation n'est pas universelle : échappent à cette relation, entre autres, les milieux électriquement non linéaires ( $\vec{D}(\vec{r},\omega)$ dépend alors aussi des termes quadratiques de $\vec{E}(\vec{r},\omega)$ ),

$\vec{D} = \frac{\vec{E}}{\|\vec{E}\|} \left( \varepsilon^{(1)}\cdot \|\vec{E}\| + \varepsilon^{(2)}\cdot \|\vec{E}\|^2 + \varepsilon^{(3)}\cdot \|\vec{E}\|^3 + \cdots \right)$

et les milieux dits « chiraux » ( $\vec{D}(\vec{r},\omega)$ dépend alors linéairement de $\vec{E}(\vec{r},\omega)$ mais aussi du champ magnétique $\vec{H}(\vec{r},\omega)$ ) :

[modifier] Induction électrique dans un condensateur

Pour un condensateur, la densité de charge sur les plaques est égale à la valeur du champ D entre les plaques. Ceci fait suite directement à la loi de Gauss, en intégrant sur une boîte rectangulaire chevauchant les plaques du condensateur :

$\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q$

où S représente l'aire orientée de la boîte et Q la charge accumulée par le condensateur. La partie de la boîte à l'intérieur de la plaque à un champ nul (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est nulle), et sur les bords de la boite, $d\vec{A}$ est perpendiculaire au champ (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est aussi nulle). Au final, il reste :