Équation de Laplace
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En analyse vectorielle, l'équation de Laplace est une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont le nom est un hommage au physicien mathématicien Pierre-Simon Laplace.
Introduite pour les besoins de la mécanique newtonienne, l'équation de Laplace apparait dans de nombreuses autres branches de la physique théorique : astronomie, électrostatique, mécanique des fluides, propagation de la chaleur, diffusion, mouvement brownien, mécanique quantique.
Toute fonction solution de l'équation de Laplace est dite harmonique.
Sommaire |
[modifier] Equation de Laplace à trois dimensions
En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles ψ(x,y,z) qui vérifient l'équation aux dérivées partielles[1] du second ordre :
Pour simplifier l'écriture, on introduit un opérateur différentiel noté Δ et appelé opérateur de Laplace, ou simplement laplacien, tel que l'équation aux dérivées partielles précédente s'écrive de façon compacte :
[modifier] Equation de Laplace à deux dimensions
En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 2, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à deux variables réelles V(x,y) qui vérifient :
On montre que toute fonction holomorphe donne des solutions de l'équation de Laplace à deux dimensions par leur partie réelle et par leur partie imaginaire ; de plus, ces solutions sont orthogonales en tout point.
[modifier] Rappels sur les fonctions holomorphes
Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur ; aussi le sont les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle. (Les fonctions trigonométriques sont en fait relativement proches de la fonction exponentielle puisqu'elles peuvent être définies à partir de celle-ci en utilisant les formules d'Euler).
- La fonction logarithme est holomorphe sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs (on peut choisir une demi-droite quelconque issue de 0 ).
- La fonction racine carrée peut être définie par
et est ainsi holomorphe partout où la fonction logarithme l'est.
- La fonction inverse est holomorphe sur .
- Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manières des coutures et sont holomorphes partout sauf aux coutures.
[modifier] Résultats sur l'équation de Laplace et les fonctions holomorphes
[modifier] Premier théorème
Théorème — Toute fonction analytique est solution de l'équation de Laplace.
[modifier] Démonstration
On introduit la variable complexe :z = x + iy où i2 = − 1, et on définit la fonction holomorphe F(z). Par dérivation , on obtient que :
alors que :
En dérivant une seconde fois, on obtient d'une façon similaire :
alors que :
La somme est nulle, donc la fonction holomorphe F est bien une solution de l'équation de Laplace :
Remarque : la fonction holomorphe admet toujours une décomposition en partie réelle et partie imaginaire :
En annulant la partie réelle et la partie imaginaire séparément, on obtient deux équations de Laplace indépendantes :
[modifier] Second théorème
Théorème — Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ.
[modifier] Démonstration
On peut écrire :
et :
On en déduit :
soit finalement :
On reconnait là le produit scalaire des deux vecteurs :
On en déduit que les courbes à « V(x,y) = constante » et « φ(x,y) = constante » sont perpendiculaires (transformation conforme). Ce qui fait que si « V(x,y) = constante » représente les courbes de même potentiel, alors « φ(x,y) = constante » représente les lignes de champ électrique en électrostatique
[modifier] Équation de Poisson
Si le membre de droite est une fonction donnée f(x,y,z), on obtient l'équation de Poisson :
[modifier] Articles liés
[modifier] Notes
- ↑ Comme pour toute équation aux dérivées partielles, il faut en général spécifier des conditions aux limites pour que le problème soit mathématiquement « bien posé ».