Opérateur laplacien vectoriel

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

En analyse vectorielle, le laplacien vectoriel est un opérateur différentiel pour les champs vectoriels.

[modifier] Expressions

Le laplacien d'un champ vectoriel $\vec A$ est un champ vectoriel défini par :

$\vec\Delta \vec A = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec A\right) - \overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec A\right) = \vec\nabla^2\vec A$

En coordonnées cartésiennes, il correspond au laplacien scalaire de chacune des composantes du champ vectoriel :

$\vec\Delta \vec A = \begin{bmatrix}\Delta A_x\\\Delta A_y\\\Delta A_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} \end{bmatrix}$

En coordonnées cylindriques, il donne :

$\vec\Delta \vec A = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 A_r}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A_r}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial r} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{A_r}{r^2} \\ \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial r} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{r^2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A_z}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial r} \end{bmatrix}$

Et pour finir, en coordonnées sphériques, il s'écrit :

$\vec\Delta \vec A = \begin{bmatrix} \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \cdot A_r)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_r}{\partial \phi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2 \cdot \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} - \frac{2A_r}{r^2} - \frac{2 \cot \theta}{r^2} A_\theta \\ \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \cdot A_\theta)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_\theta}{\partial \phi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{A_\theta}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r \cdot A_\phi)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A_\phi}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A_\phi}{\partial \phi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A_\phi}{\partial \theta} + \frac{2}{r^2 \cdot \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} + \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} - \frac{A_\phi}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \end{bmatrix}$

[modifier] Applications

Le laplacien vectoriel est présent :

dans l'équation de Poisson pour les versions vectorielles ;
en mécanique des fluides visqueux où il apparait dans les équations de Navier-Stokes ;
dans l'équation de Schrödinger.