Théorème de flux-divergence

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

En analyse vectorielle, le théorème de flux-divergence, aussi appelé le théorème de Green-Ostrogradski est un théorème reliant la divergence d'un champ vectoriel à la valeur de l'intégrale de surface du flux défini par ce champ.

Il stipule que le flux d'un vecteur à travers une surface fermée est égal à l'intégrale de la divergence de ce vecteur sur le volume délimité par cette surface.

L'expression du théorème est le suivant :

$\iiint_{\mathcal{V}} \mathrm{div}\ \vec F \ {\rm d}V = \iint_{\Sigma} \vec F \cdot {\rm d} \vec S$

où :

$\mathcal{V}\,$ représente le volume, et $\Sigma\,$ le bord de $\mathcal{V}\,$ , ce qu'on note mathématiquement $\Sigma=\part\mathcal{V}\,$ .

${\rm d} \vec S$ est le vecteur normal à la surface , dirigé vers l'extérieur, et de longueur égale à l'élément qu'il représente .

$\mathrm{div}\ \vec F$ est aussi noté $\vec\nabla \cdot \vec F$

On notera que ce théorème découle du théorème de Stokes, qui lui-même généralise le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.

C'est un résultat important en physique mathématique, en particulier en électrostatique et en dynamique des fluides.

On peut utiliser ce théorème pour déduire certaines formules utiles de calcul vectoriel :

$\iiint_\mathcal{V} \vec{F}\cdot \vec{\nabla} g + g \left(\vec{\nabla} \cdot \vec{F}\right){\rm d}V=\iint_{\part \mathcal{V}}g \vec{F}\cdot {\rm d}\vec{S},$

$\iiint_\mathcal{V} \vec{\nabla} g \, {\rm d}V=\iint_{\part \mathcal{V}} g {\rm d}\vec{S},$

$\iiint_\mathcal{V} \vec{G}\cdot\left(\vec{\nabla} \wedge \vec{F}\right) - \vec{F}\cdot \left( \vec{\nabla} \wedge \vec{G}\right) {\rm d}V = \iint_{\part \mathcal{V}}\left(\vec{F} \wedge \vec{G}\right)\cdot {\rm d}\vec{S},$