Déterminant de Gram

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En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. Son nom est un hommage au mathématicien danois Jørgen Pedersen Gram (1850-1916).

L'article déterminant montre comment définir le volume orienté d'un parallélotope formé par n vecteurs en dimension n, sans nécessité de munir l'espace d'un produit scalaire. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel produit scalaire, permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation.

Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un espace quadratique. En dimension finie, le discriminant d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram.

Sommaire

[modifier] Définition

Soit E un espace préhilbertien réel. Si x1,..., xn sont n vecteurs de E, la matrice de Gram associée est la matrice symétrique de terme général (xi|xj). Le déterminant de Gram est le déterminant de cette matrice

G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}

[modifier] Propriétés

Écriture à l'aide d'une matrice représentative

Soit B une base orthonormale de l'espace engendré par les xi ; elle contient d\leq n vecteurs. Soit X la matrice représentative du système de vecteurs xi dans B. C'est une matrice de taille n\times d, dont chaque colonne contient les composantes d'un des vecteurs xi. La matrice de Gram n'est autre que X tX.

Corollaires

  • le déterminant de Gram d'une famille de n vecteurs est toujours positif
  • il est nul si et seulement si la famille est liée
Démonstration
Si la famille est liée, alors d<n et X non inversible, donc le déterminant de Gram est nul. Si la famille est libre, alors d=n, X est inversible comme matrice de passage d'une base à une autre et le déterminant de Gram est det X2 qui est strictement positif.

Effet des opérations élémentaires

  • la multiplication d'un des vecteurs par le réel a provoque une multiplication du déterminant de Gram par a2.
  • l'échange de deux vecteurs ne modifie pas le déterminant de Gram
  • l'ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres ne modifie pas le déterminant de Gram

[modifier] Application à la projection orthogonale

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie n. Soient x1,..., xn, n vecteurs formant une base de F. Tout vecteur x de E admet un projeté orthogonal p(x) sur F.

Distance à un sous-espace

Comme p(x) est combinaison linéaire des xi, par une opération élémentaire

G(x,x_1,\dots, x_n) = G(x-p(x), x_1, \dots, x_n)

Mais x-p(x) est par définition orthogonal aux xi, donc

G(x,x_1,\dots, x_n) = \|x-p(x)\|^2.G(x_1, \dots, x_n)=d(x,F)^2.G(x_1, \dots, x_n)

Calcul du projeté

Le projeté p(x) admet une décomposition de la forme

p(x) = \sum_{i=1}^n p_i x_i

Il existe une « formule de projection », valable lorsque les xi constituent une base orthonormale. Une méthode de calcul des xi consiste à orthonormaliser la base puis à appliquer cette formule.

Les matrices de Gram permettent d'éviter ce détour. En effet il faut déterminer n scalaires (les pi), avec les n conditions

\forall i \in [|1,n|], \qquad (x-p(x)|x_i)=0

Le système carré de taille n obtenu admet une unique solution puisqu'il caractérise le projeté. La solution peut être exprimée par les formules de Cramer

p_i^2 = \frac{G(x_1, \dots, x_{i-1},x,x_{i+1}, \dots, x_n)}{G(x_1, \dots, x_n)}

Il ne reste plus qu'à trouver le signe de chaque pi

[modifier] Interprétation géométrique

[modifier] Calcul des volumes de parallélotopes

Le calcul de la distance à un sous-espace permet de montrer par récurrence que le déterminant de Gram d'une famille de n vecteurs est égal au carré du volume euclidien du parallélotope correspondant.

En effet pour n=1 c'est bien le cas : G(x)=\|x\|^2.

En supposant la propriété vraie pour toute famille de n vecteurs, on l'établit pour n+1. La distance de xn+1 à F espace engendré par les n premiers vecteurs est le carré de la hauteur du parallélotope, et G(x1, ..., xn) est le carré du volume de la base par hypothèse de récurrence.

Le volume s'obtient donc en prenant la racine carrée du déterminant de Gram, sans qu'il soit possible de lui donner un signe (pour plus de détails sur cette dernière question, consulter l'article orientation).

[modifier] Application de la formule de Binet-Cauchy

La formule de Binet-Cauchy montre comment le volume d'un parallélotope de dimension d dans un espace de dimension n peut être ramené au calcul de volumes de projections orthogonales du parallélotope sur des sous-espaces de coordonnées. Elle s'écrit

\det(A\,{}^tA) = \sum_S \det(A_S)^2\,

dans cette expression S décrit les différents sous-ensembles à d éléments de l'ensemble { 1, ..., n }. Pour chaque S, la matrice AS est la matrice carrée de taille d obtenue en ne retenant que les colonnes de A dont l'indice appartient à S.

La formule de Binet-Cauchy montre que le carré du volume du parallélotope est égal à la somme des carrés des volumes des projections orthogonales sur les différents sous-espaces de coordonnées de dimension m (qui sont au nombre de \begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}).

Dans le cas m=1, ces projections orthogonales sont des segments, et on retrouve une forme du théorème de Pythagore.

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