Forme sesquilinéaire
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En algèbre, une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans C, linéaire selon l'une des variables et antilinéaire (aussi dit semi-linéaire) par rapport à l'autre variable. C'est l'équivalent complexe aux formes bilinéaires réelles.
Les formes sesquilinéaires les plus étudiées sont les formes hermitiennes. Parmi celle-ci, les formes hermitiennes définies positives permettent de munir E d'un produit scalaire et ouvrent à l'étude des espaces hermitiens, des espaces préhilbertiens complexes et des espaces de Hilbert.
[modifier] Définitions et conventions
Les conventions diffèrent quant au choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessus (première variable : linéaire, deuxième variable : antilinéaire) est plus courant en mathématiques (peut-être pas universel), mais le choix opposé est utilisé par tous les physiciens, ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket.
Forme antilinéaire : Soit E un C-espace vectoriel, l'application φ de E dans C est antilinéaire si et seulement si :
- Elle respecte l'addition et presque la multiplication scalaire : pour tous x, y de E, pour tout λ de C :
Forme sesquilinéaire : L'application f de E × E → C est une forme sesquilinéaire si et seulement si :
- a) Elle est linéaire à droite : pour tous x, x’, y de E, pour tout λ de C :
- b) Elle est antilinéaire à gauche, ce qui signifie que pour tout x, y, y’ de E, pour tout λ de C : où est le conjugué de λ.
Forme hermitienne : c'est une forme sesquilinéaire qui vérifie la propriété de symétrie hermitienne
- c) Pour tous x et y de E,
Forme hermitienne définie positive : c'est une forme hermitienne telle que
- d) Pour tout x de E,
- e) Pour tout x de E, implique
Une forme hermitienne définie positive est encore appelée produit scalaire (sous-entendu au sens complexe).
[modifier] Exemples
- En dimension finie, on prouve que les seules formes sesquilinéaires sont celles définies par
où X et Y sont les vecteurs colonnes, coordonnées de x et y dans la base (e1,...,en), et où A est la matrice définie par . L'ensemble des formes sesquilinéaires dans un ensemble de dimension n est donc en bijection avec l'ensemble des matrices carrée .
- Soit B un ensemble non vide et le -espace vectoriel des applications de B dans , et soient a et b deux éléments de B. La forme fa,b définie par est une forme sesquilinéaire.
- Dans un espace métrique, le produit interne (scalaire) est sesquilinéaire. Pour tout x, y, z de E et pour tout a, u de C on a :
- (ax+uy|z) = a(x|z) + u(y|z)
- (x|ay+uz) = â(x|y) + û(y|z) où â et û sont respectivement les complexes conjugués de a et u.
[modifier] Article connexe
Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz