Matrice semi-définie positive

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En algèbre linéaire, la notion de matrice semi-définie positive (on dit aussi : matrice positive) est analogue à celle de nombre réel positif ou nul.

La notion de matrice semi-définie positive est très proche de celle de matrice définie positive.

Sommaire

1 Matrice symétrique réelle semi-définie positive
- 1.1 Exemple
2 Matrice hermitienne semi-définie positive
3 Voir aussi

[modifier] Matrice symétrique réelle semi-définie positive

Soit $M$ une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite semi-définie positive si elle vérifie l'une des 2 propriétés équivalentes suivantes :

1.	Pour toute matrice colonne $\ \textbf{x}$ à $n$ éléments réels, on a $\textbf{x}^{T} M\, \textbf{x} \geq 0$ .
2.	Toutes les valeurs propres de $M$ sont positives ou nulles, c'est-à-dire : $\ \mathrm{sp}(M) \subset\, [0,\, +\infty[\,$ .

[modifier] Exemple

Étant donné un vecteur aléatoire $(T_1,\dots, T_n)$ à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ dont chaque composante admet une variance, on définit sa matrice des covariances :

$\Gamma = \Big(\mathrm{cov}(T_i, T_j) \Big) \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$

Celle-ci est semi-définie positive. En effet, pour toute matrice colonne $\ \textbf{x}$ à $n$ éléments réels notés $x_1,\dots, x_n$ :

$\textbf{x}^{T} \Gamma\, \textbf{x} = \mathrm{Var}(x_1\, T_1 +\cdots + x_n\, T_n) \geq 0$

Elle est définie positive si et seulement si la seule combinaison linéaire de $T_1,\dots, T_n$ qui soit certaine est celle dont tous les coefficients sont nuls.

[modifier] Matrice hermitienne semi-définie positive

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.

Soit $M$ une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite semi-définie positive si elle vérifie l'une des 2 propriétés équivalentes suivantes :

1.	Pour toute matrice colonne $\ \textbf{z}$ à $n$ éléments complexes, on a $\textbf{z}^{} M \textbf{z} \geq 0$ (où $\textbf{z}^{}$ désigne la matrice transconjuguée de $\ \textbf{z}$ ).
2.	Toutes les valeurs propres de $M$ sont positives ou nulles, c'est-à-dire : $\ \mathrm{sp}(M) \subset\, [0,\, +\infty[\,$ .