Matrice de variance-covariance

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les probabilités et les statistiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Une matrice de variance-covariance est une matrice carrée caractérisant les interactions (linéaires) entre p variables aléatoires X_1,\dots,X_p\,. Son terme générique est donné par

\boldsymbol{\Sigma}_{j,\ell}=\textrm{cov}\left(X_j,X_\ell\right),

avec \textrm{cov}\left(X_j,X_\ell\right) la covariance des variables X_j\, et X_\ell

La matrice de variance-covariance est symétrique réelle, à valeurs propres positives ou nulles. Lorsqu'il n'existe aucune relation affine presque sûre entre les composantes du vecteur aléatoire, la matrice \boldsymbol{\Sigma} est à valeurs propres strictement positives : elle est définie positive.

L'appellation variance-covariance provient du fait que la diagonale de la matrice représente les variances cov(X_i,X_i)=\sigma_i^2, tandis que les autres termes sont les covariances cov(X_i,X_j)=\sigma_{ij}^2 \quad i \neq j. Avec ces notations, on a :

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \cdots & \sigma_{1p}^2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{p1}^2 & \cdots & \sigma_p^2 \end{pmatrix}

[modifier] Voir aussi