Plus grand commun diviseur
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En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, le plus grand commun diviseur (et non dénominateur, voir plus bas), abrégé en général PGCD, de deux entiers relatifs est le plus grand entier naturel qui divise simultanément ces deux entiers. Plus généralement, le PGCD d'une séquence finie ou infinie d'entiers relatifs non tous nuls est le plus grand entier naturel divisant simultanément tous ces entiers. La définition s'étend aux anneaux, avec pertes de propriétés selon le type d'anneau choisi.
Par exemple le pgcd de 42 et 56 est 14 (pgcd(42, 56)=14). En effet, et et 3 et 4 sont premiers entre eux (il n'y a aucun nombre à part 1 qui soit à la fois diviseur de 3 et de 4).
Sommaire |
[modifier] Dénomination
L'élément dont nous parlons est le plus grand diviseur commun de a et b. On pourrait s'attendre à le voir appelé le plus grand diviseur commun, abrégé "PGDC" et non le plus grand commun diviseur. Mais le nom est assez ancien, et en ancien français il était plus normal de dire "commun diviseur" que "diviseur commun" et l'on retrouve plus souvent l'appellation PGCD.
[modifier] Notations
Le pgcd de deux entiers a et b est souvent noté : PGCD(a,b) ou pgcd(a,b). De même, le pgcd d'une séquence d'entiers ai sera notée pgcd(ai) ou PGCD(ai).
Certains auteurs notent le pgcd de deux entiers a et b sous la forme a∧b. Cette notation fait référence aux ensembles ordonnés : tout diviseur commun à a et b divise leur pgcd (voir ci-dessous).
Les anglo-saxons le notent : (a,b).
[modifier] Définitions
[modifier] Pour des entiers
Etant donnée une séquence finie ou infinie ai d'entiers qui ne sont pas tous nuls, l'ensemble des diviseurs communs des termes de la séquence est une partie finie et non vide de N
- Finie, car un diviseur d'un entier non nul a est borné par |a| ;
- Non vide car contient 1, entier qui divise tous les entiers.
Cet ensemble admet donc un élément maximal d, appelé le pgcd de la séquence ai considérée.
Par exemple, les diviseurs communs de 36, 48 et 60 sont 1, 3, 4 et 12. Le pgcd de 36, 48 et 60 est donc 12.
Rappelons qu'un entier n s'écrit de manière unique à l'ordre près des facteurs et au signe près comme un produit fini de nombres premiers. Le nombre de fois que l'entier premier p apparait dans cette écriture s'appelle la valuation p-adique de n, notée vp(n). Un entier m divise un entier n si et seulement si pour tout p .
De fait, le pgcd d'une séquence ai est donnée par :
- ,
où le produit portent sur l'ensemble des nombres premiers (presque tous les termes du produit, hormis une quantité finie, sont égaux à 1).
Tout diviseur commun à une séquence d'entiers relatifs, non tous nuls, divise leur pgcd. Ce constat résulte immédiatement de l'écriture ci-dessus en produit de nombres premiers. Le pgcd apparait de fait comme l'élément maximal de l'ensemble des diviseurs communs, maximal au sens de la division.
[modifier] Quelques précisions sur « plus grand »
Usuellement, pour des nombres entiers, on considère uniquement des PGCD positifs et la notion de « plus grand » correspond bien à la notion usuelle de plus grand pour les nombres. Pour d'autres cas, le « plus grand » de PGCD ne correspond pas forcément à la relation d'ordre habituelle mais au fait que tout diviseur commun de a et de b divise pgcd(a,b). Le ou les pgcd de a et de b sont donc les plus grands éléments de l'ensemble des diviseurs de a et de b au sens de la relation de divisibilité, ce qui pourrait par exemple permettre de dire que -3 et 3 sont tous deux des PGCD de 6 et de 9. Cette façon de voir les choses est utile pour définir le pgcd, pour des polynômes par exemple, ou pour le pgcd de nombres rationnels. Dans le cas des polynômes, le PGCD est le diviseur de plus haut degré. Pour le cas de nombres entiers, on préfère souvent prendre le pgcd positif, ce qui permet de faire en sorte qu'il soit bien le plus grand au sens normal du terme.
Évidemment, celui des deux pgcd qui est positif est également le plus grand diviseur au sens de la relation d'ordre « supérieur ou inférieur », mais ce n'est vrai que pour le cas des nombres (le PGCD s'étend à d'autres objets mathématiques). Et encore, le cas de pgcd(0,0), que nous examinerons plus loin, contredit cette assertion.
Rappelons que le D de PGCD signifie toujours diviseur et non dénominateur. Le plus petit commun dénominateur est en fait le PPCM employé pour la réduction de fractions. L'emploi de cette expression n'est pas une erreur, c'est un cas particulier d'emploi du PPCM. L'expression "Plus grand commun dénominateur" est en revanche erronée, sauf si l'on considère "dénominateur" comme synonyme de "diviseur" (ce qu'on fait parfois à cause de sa position en bas d'une fraction, le nombre rationnel n/m étant égal à n divisé par m, et m est le dénominateur).
[modifier] Dans les anneaux commutatifs
Par extension, le plus grand commun diviseur peut être défini plus généralement pour les éléments d'un anneau commutatif arbitraire, pas forcément unitaire (certains diraient: pseudo-anneau). Le plus grand commun diviseur d'une famille ai d'éléments de A non tous nuls est le plus grand diviseur commun aux ai au sens de la division.
L'existence d'un tel élément (tout comme du PPCM) est certaine dans un anneau factoriel, pas toujours dans d'autres anneaux.
Par exemple, dans l'anneau , 4 et admettent 2 et comme diviseurs, mais aucun élément divisible simultanément par 2 et ne les divise.
Le PGCD de a et b n'est pas toujours unique, mais si A est intègre alors deux quelconques PGCD de a et b sont des éléments associés.
Dans le pseudo-anneau 2 * Z / 20Z, [8] et [12] admettent comme pgcd possibles [4], [8], [12], [16] ([2]*[4]=[8], [4]*[8]=[32]=[12], [8]*[12]=[96]=[16], [4]*[16]=[64]=[4]), qui ne sont pas associés.
Dans un anneau principal, il existe c et d éléments de A (non uniques) tels que ac + bd = pgcd(a,b) (identité de Bezout)
Si A est un anneau euclidien alors une forme de l'algorithme d'Euclide peut être utilisée pour calculer le PGCD.
L'unicité peut dans certains cas être rétablie en posant une contrainte supplémentaire. Par exemple dans l'anneau des polynômes à coefficients complexes, le PGCD est unique si on exige qu'il soit un polynôme unitaire.
D'ailleurs dans le cas des nombres entiers, l'unicité du PGCD est obtenue avec la convention "le PGCD est un nombre positif". Sans cette convention, la définition ci-dessus donne deux PGCD distincts, opposés.
Tout ce qui précède se généralise à un nombre arbitraire ou même infini d'éléments, sauf l'algorithme d'Euclide.
[modifier] Définition par les idéaux
La définition de ce paragraphe est un peu plus générale que celle du paragraphe précédent, et permet de définir des PGCD dans des cas où ils ne pourraient l'être suivant la définition précédente.
Dans l'anneau commutatif A, on note (x) l'idéal principal engendré par l'élément x, ie l'intersection de tous les idéaux de A contenant x, (l'ensemble des éléments xy, y décrivant A si A est unitaire).
Pour a et b éléments de A, (a)+(b) est également un idéal.
Alors d est un pgcd de a et b ssi (d) est le plus petit idéal engendré par un seul élément et incluant (a)+(b), ie (a)+(b) ⊂(d) et pour tout x ⊂ A, (a)+(b) ⊂ (x) (ce qui équivaut à "x est un diviseur de a et b" si A est unitaire) ⇒ (d) ⊂ (x) (ce qui équivaut à "x est un diviseur de d" si A est unitaire).
- Dans le pseudo-anneau (anneau non unitaire) 2Z, 8 et 12 ont pour PGCD possibles 4 et -4… En effet, (8)+(12) ⊂ (4) = (-4) = 4Z, et pourtant il n'existe pas dans 2Z d'élément x tel que 4*x=12.
Dans un anneau principal, ce qui précède équivaut à (a)+(b) = (d)
Comme plus haut, il n'y a pas unicité du pgcd.
Ici encore, on peut étendre à un nombre arbitraire voire infini d'éléments.
[modifier] Anneaux non-commutatifs
Dans un anneau non-commutatif, un élément peut admettre des "diviseurs à droite" et des "diviseurs à gauche". On peut dans certain cas définir un PGCD à droite et/ou un PGCD à gauche. Mais l'existence de l'un n'implique pas forcément celle de l'autre, et l'existence commune n'implique pas forcément l'égalité.
[modifier] Cas du zéro
Certaines définitions du PGCD autorisent le calcul du PGCD d'un entier quelconque avec 0. Pour tout n entier, pgcd(0,n) = n.
Cette propriété reste vraie pour n=0.
Pour la justifier dans ce dernier cas, il faut adopter la propriété (a) + (b) = (pgcd(a,b)) (vraie dans un anneau principal, comme nous l'avons vu plus haut) comme définition du PCGD (à un choix parmi les éléments associés près).
Donc pgcd(0,0)=0 (c'est la réponse donnée par les calculatrices : elle ne peut se justifier par la définition du PGCD du premier paragraphe).
Ce n'est pas une simple convention, mais la conséquence de la définition formelle du PGCD.
[modifier] Généralisations immédiates
[modifier] PGCD de fractions
Dans ce paragraphe, on utilise la définition suivante: d est un pgcd de a et b si d divise a et b et d est divisible par tout élément divisant a et b. (paragraphe 2)
Premier point de vue: c'est le plus évident: on se place dans le corps des rationnels. Alors pour p1/q1 et q2/p2 deux rationnels non tous deux nuls, tout rationnel non nul est un PGCD de p1/q1 et q2/p2 (Q étant un corps, tout rationnel autre que 0 divise 1, et 1 divise tout rationnel). Par convention, on choisit 1 comme PGCD. Dans le cas où les deux fractions sont nulles, le PGCD vaut encore 0.
Note: on montre que A est un corps si et seulement si A est un anneau unitaire dont les seuls idéaux sont {0} et A. On comprend facilement, avec la définition du paragraphe 2.1, que deux éléments non tous deux nuls de A admettent n'importe quel élément non nul de A comme PGCD, et on choisit 1 (le neutre de la seconde loi) par convention. La notion de PGCD n'a donc pas beaucoup d'intérêt dans un corps!
Deuxième point de vue: il consiste à considèrer qu'une fraction p/q en divise une autre p'/q' non pas s'il existe une fraction a/b telle que p/q*a/b=p'/q' (toujours vrai si p ne vaut pas 0: prendre a=q*p' et b=p*q') mais seulement s'il existe un entier c tel que p/q*c=p'/q'.
De façon analogue au paragraphe sur les idéaux, un pgcd de p1/q1 et q2/p2 est une fraction p/q telle que . Mais attention, les objets manipulés ici ne sont pas des idéaux, ni des pseudo sous-anneaux de Q, seulement des sous-groupes.
Finalement, on trouve p=+/- pgcd(p1,p2) et q=ppcm(q1,q2).
De même, on a ppcm(p1/q1,p2/q2)= +/- ppcm(p1,p2)/pgcd(q1,q2)
Le PGCD obtenu suivant le deuxième point de vue est bien entendu également un PGCD possible quand on se place sur le corps Q. Les calculatrices et logiciels de calcul choisissent l'un ou l'autre suivant le choix des programmeurs (par exemple Maple adopte le premier point de vue, la Casio Graph 100+ le second).
Un inconvénient du second point de vue est que le PGCD d'une famille infinie de rationnels n'existe pas toujours. Par exemple la famille des fractions 1/n, n allant de 1 à l'infini parmi les entiers, n'admet pas de PGCD.
[modifier] Cas des réels
On peut encore étendre les définitions précédentes avec des nombres réels: le premier point de vue conduit à un PGCD de 1 pour tout couple de réels non tous deux nuls.
Le second point de vue dit que pour deux réels quelconques a et b, s'il existe un réel c tel que a=u*c et b=v*c avec u et v rationnels, on choisit PGCD(a,b)=|c|*PGCD(u,v), suivant la définition des PGCD de rationnels vue ci-dessus (2e point de vue).
Pour deux réels a et b tels que a/b soit irrationnel (si b=0 on est dans la situation précédente) on est obligé de revenir au premier point de vue d'où PGCD(Pi,)=1; à noter que le PPCM le même problème, mais il est déterminé par PGCD(a,b)*PPCM(a,b)=|a*b|. (PPCM(Pi,)=Pi*)
Ici encore, on ne tranche pas entre les deux points de vue mais il s'agit d'expliquer pourquoi PGCD(Pi/3,Pi/2) vaut Pi/6 selon certaines calculatrices, 1 selon d'autres.
[modifier] Polynômes à coefficients réels
Le PGCD dans l'anneau vérifie la définition donnée plus haut. Mais cette fois il y a une infinité de PGCD possibles pour 2 polynômes: tout PGCD des polynômes A et B multiplié par un réel non nul est aussi un PGCD de A et B. Pour définir un PGCD unique il y a deux conventions possibles: ou bien on pose par convention que le PGCD doit être un polynôme unitaire, ou bien on choisit le polynôme dont le coefficient dominant est le PGCD des coefficients dominants de A et B, en employant la définition du paragraphe précédent pour les PGCD de réels.
À titre d'exemple, Maple choisit la première option quand les polynômes sont à coefficients entiers, la seconde sinon, tandis que les calculatrices Casio optent toujours pour la seconde convention.
[modifier] Exemple
On cherche le PGCD de 15 et 12.
Les diviseurs positifs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.
Les diviseurs positifs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
On obtient donc d12,15 = {1,3}
On en déduit pgcd(12, 15) = 3.
Dans la pratique, on utilise l'algorithme d'Euclide
[modifier] Calcul du PGCD
On pourrait calculer le PGCD de deux nombres en écrivant leur décomposition en produit de facteurs premiers et en considérant le produit de certains facteurs premiers communs, mais dans la pratique on utilise rarement cette méthode du fait de sa lenteur, excepté dans les cas évidents (par exemple pour 4 et 6, on trouve immédiatement 4=2*2 et 6=2*3, d'où PGCD(4,6)=2).
Une méthode beaucoup plus efficace est l'algorithme d'Euclide.
[modifier] Propriétés
Soit
- , on peut étendre à un nombre arbitraire d'éléments
- Géométriquement, pgcd(a,b) est le nombre de points de coordonnées entières sur le segment d'extrémités des points (0,0) et (a,b), sans compter (0,0).
[modifier] Voir aussi
Opération binaire | ||||
---|---|---|---|---|
numérique | fonctionnelle | en ensemble ordonné | structurelle | |
+ addition div quotient euclidien |
∘ composition ∗ convolution |
∪ réunion |
× produit cartésien ⊕ somme directe ⊗ produit tensoriel |
∨ enracinement # somme connexe ∨ bouquet |
vectorielle | ||||
(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel |
||||
algébrique | ||||
[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur |
||||
homologique | ||||
∪ cup-produit • produit d'intersection |
séquentielle | |||
+ concaténation | ||||
logique booléenne | ||||
∧ ET (conjonction) | ∨ OU (disjonction) | ⊕ OU exclusif | ⇒ IMP (implication) | ⇔ EQV (coïncidence) |