Divisibilité
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La notion de divisibilité fonde l'arithmétique.
Cet article traite de la divisibilité dans l'ensemble des nombres entiers (
).
[modifier] Définition
Soient a et b deux entiers. Dire que a divise b est équivalent à dire que
- a est un diviseur de b (si a est non nul)
- b est un multiple de a
- il existe un entier k tel que b = a.k
- a | b
[modifier] Propriétés de la divisibilité
Soient a, b et c trois entiers.
- a | a (réflexivité)
- -a | a
- a | 0
- 1 | a
(transitivité)
(conservation par combinaison linéaire)- a | bc et a est premier avec b, alors a | c (lemme de Gauss permettant de prouver l'unicité de la factorisation)
(antisymétrie)- La relation de divisibilité est une relation d'ordre partiel sur
. - muni de la divisibilité, du pgcd et du ppcm est un treillis.
