Anneau intègre
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
Un anneau intègre est, en mathématiques et plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un anneau qui ne possède aucun diviseur de zéro, et non réduit à l'élément neutre pour la première loi.
[modifier] Définition
Un anneau est dit intègre s'il est non réduit à l'élément neutre et ne possède aucun diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de A est régulier pour la deuxième loi notée multiplicativement, soit encore :
Par convention, l'anneau nul {0A} n'est pas intègre.
[modifier] Propriétés
- Tout corps, ou plus généralement tout anneau à division (corps non commutatif) est un anneau intègre.
- Tout anneau commutatif intègre peut être plongé dans un corps. Il existe à isomorphisme près un plus petit corps dans lequel il peut être plongé, appelé le corps des fractions.
- Un anneau commutatif A est intègre si et seulement si son anneau des polynômes A[X] l'est.
[modifier] Exemples
- L'ensemble des entiers relatifs est un anneau intègre. Par définition, est son corps des fractions.
- L'anneau des congruences modulo 6 noté n'est pas intègre car on peut y écrire .
- L'anneau des congruences modulo n noté est intègre si n est premier, et dans ce cas, c'est un corps.