Treillis (ensemble ordonné)

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Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre.

En mathématiques, un treillis (en anglais : lattice) est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. On parle aussi d'espace réticulé.

Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique.

[modifier] Définition algébrique

Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées $\vee$ et $\wedge$ vérifiant :

les deux lois sont commutatives et associatives
pour tout a de E, $a \vee a = a$ et $a \wedge a = a$ (idempotence)
pour tout a et b de E: $a \wedge (a \vee b) = a$ et $a \vee (a\wedge b) = a$ (absorption)

Pour démontrer que E est un treillis en tant qu'ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre généralement notée $\subseteq$ de la manière suivante :

$a\subseteq b \Leftrightarrow a \vee b = b$

On peut montrer que cette relation est bien une relation d'ordre (éventuellement partielle). La propriété d'associativité assure la transitivité. La propriété d'idempotence assure la réflexivité. La définition même assure l'antisymétrie. Grâce aux deux propriétés d'absorption, on peut aussi montrer que

$a \subseteq b \Leftrightarrow a \wedge b = a$

On peut alors vérifier que,

$\sup(a, b) = a \vee b$
$\inf(a, b) = a \wedge b$

Ce qui assure que (E , $\subseteq$ ) est bien un treillis au sens des ordres.

[modifier] Définition par relation d'ordre

Un treillis est un ensemble E muni d'une relation d'ordre $\subseteq$ vérifiant, :

pour tous éléments a et b de E, il existe une borne supérieure et une borne inférieure à l'ensemble {a , b}

Pour montrer que E est un treillis algébrique, on remarque que la borne supérieure et la borne inférieure définissent alors deux lois internes :

$a \vee b = \sup(a, b)$
$a \wedge b = \inf(a, b)$

Les propriétés de treillis algébrique pour ces deux lois découlent assez directement de la définition.

On définit donc indifféremment les treillis de façon algébrique ou par une relation d'ordre.

[modifier] Exemples

L'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'inclusion forme un treillis où la borne supérieure est l'union et la borne inférieure l'intersection.
L'ensemble des entiers naturels muni de son ordre usuel est un exemple de treillis incomplet : il n'admet pas lui-même de borne supérieure.
Soient f,g deux fonctions boréliennes sur R, intégrables pour la mesure de Lebesgue et vérifiant f<g. L'ensemble des fonctions boréliennes h comprises entre f et g est un treillis non complet qui devient complet si on identifie deux fonctions égales presque partout (attention ! la borne supérieure d'une famille de fonctions boréliennes peut être non mesurable ; lorsqu'on quotiente modulo l'égalité presque-partout, on regarde ce qu'on appelle une borne essentielle supérieure, laquelle, en revenant aux fonctions, majore presque-partout chaque élément de la famille).

[modifier] Dualité

Si (E, $\vee$ , $\wedge$ , ≤) est un treillis, alors son treillis dual est (E, $\wedge$ , $\vee$ , ≥).

Théorème de dualité : Si un théorème T est vrai pour tous les treillis alors le théorème dual de T, obtenu en remplaçant toutes les occurrences de $\vee$ par $\wedge$ (et réciproquement) et toutes les occurrences de ≤ par ≥ (et réciproquement) est un théorème vrai pour tous les treillis.

[modifier] Cas particuliers

Un ensemble ordonné dans lequel chaque couple d'éléments possède une borne supérieure (ou une borne inférieure) est un demi-treillis.

Un treillis E est complet si et seulement si pour tout sous-ensemble F de E, F possède une borne supérieure et une borne inférieure ; on dit aussi que E est un espace complètement réticulé.

Un treillis est distributif si et seulement si la loi $\vee$ est distributive sur la loi $\wedge$ ou si la loi $\wedge$ est distributive sur la loi $\vee$ . En fait, les deux distributivités sont équivalentes, si un treillis en possède un type, il possède l'autre.

[modifier] Bibliographie

Ressources disponibles en ligne:

Birkhoff, Garrett. Théorie et applications des treillis. Annales de l'institut Henri Poincaré, 11 no. 5 (1949), p. 227-240. [1]
Burris, Stanley N., et Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
Jipsen, Peter, et Rose, Henry. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.

Ouvrages de référence:

Donnellan, Thomas, 1968. Lattice Theory. Pergamon.
Grätzer, G., 1971. Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. W. H. Freeman.
Davey, B.A., et Priestley, H.A., 2002. Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press.
Birkhoff, Garrett, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society.

[modifier] Voir aussi

Opération binaire
numérique	fonctionnelle	en ensemble ordonné	structurelle
élémentaire + addition – soustraction × multiplication ÷ division ^ puissance arithmétique div quotient euclidien mod reste euclidien ∧ PGCD ∨ PPCM combinatoire ( ) coefficient binomial A arrangement	∘ composition ∗ convolution	ensemble de parties ∪ réunion \ complémentation ∩ intersection Δ différence symétrique ordre total min minimum max maximum treillis ∧ borne inférieure ∨ borne supérieure	ensembles × produit cartésien ⊔ union disjointe ^ puissance ensembliste groupes ⊕ somme directe ∗ produit libre ≀ produit en couronne modules ⊗ produit tensoriel Hom homomorphismes Tor torsion Ext extensions	arbres ∨ enracinement variétés connexes # somme connexe espaces pointés ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	vectorielle
	(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel
	algébrique
	[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur
	homologique
	∪ cup-produit • produit d'intersection	séquentielle
	∪ cup-produit • produit d'intersection	+ concaténation
logique booléenne
∧ ET (conjonction)	∨ OU (disjonction)	⊕ OU exclusif	⇒ IMP (implication)	⇔ EQV (coïncidence)