Entier naturel

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En mathématiques, un entier naturel (aussi appelé nombre naturel) est un nombre entier et positif, comme $0; 1; 3; 4; 5; 12; 512, 2 \times 10^9; etc.$

Il s'agit donc de nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse.

L'idée de considérer zéro comme un entier naturel est relativement récente.

Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou $\mathbb{N}$ . On note $\mathbb{N}^*$ l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Sommaire

1 Une abstraction des collections d'objets réels
2 Propriétés
3 Remarque
4 Nombres figurés
5 Voir aussi
- 5.1 Articles connexes
- 5.2 Liens externes

[modifier] Une abstraction des collections d'objets réels

La notion de collection d'objets ou d'animaux, par exemple des fruits ou un troupeau, est supposée avoir précédée celle du nombre. Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques. Ce ou ces caractères communs définissent une collection.

Des objets abstraits furent inventés en se fondant sur la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ces objets sont des unités. Euclide en donne au Livre VII la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. »

De cette notion fut extraite la propriété qui nous intéresse : la « dénombrabilité », et un objet idéal qui n'a que cette propriété, fut imaginé. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité.

Euclide définit ainsi le nombre : « Le nombre est une collection d'unités ». Cette définition inclut implicitement le nombre zéro, une collection ne comprenant aucune unité.

Les entiers naturels peuvent aussi être définis par abstraction sans passer par la notion d'unité, comme l'a fait G. Frege (Fondements de l'arithmétique, 1884). Une collection A (ou concept selon sa terminologie) et une collection B sont dites équinumériques si on peut définir une correspondance biunivoque entre les objets de A et les objets de B, c'est-à-dire une correspondance qui associe à tout objet de A un unique objet de B, et à tout objet de B un unique objet de A. Un nombre est alors défini par abstraction des collections équinumériques entre elles, indépendamment de la nature de ces collections.

A chaque nombre est associé un symbole, ce qui permet de construire un ensemble d'objets différents les uns des autres.

Article détaillé : construction des entiers naturels.

[modifier] Propriétés

Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés fondamentales à partir desquelles on développe l'arithmétique. Elles sont décrites dans l'article Axiomes de Peano.

[modifier] Remarque

Les français appellent ces entiers, entiers positifs alors que dans le système anglo-saxon on les appellera entiers non négatifs (non negative integers), vu que dans ce système les entiers positifs sont ceux strictement supérieur à 0. Cela prête parfois à confusion.

[modifier] Nombres figurés

Les nombres entiers peuvent être représentés graphiquement.

Article détaillé : Nombre figuré.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif