Coïncidence mathématique

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En mathématiques, une coïncidence mathématique est une expression de quasi égalité entre deux quantités, sans qu'il y ait une explication théorique directe.

Sommaire

1 Introduction
2 Quelques exemples
3 Voir aussi
4 Références
5 Liens externes

[modifier] Introduction

Une coïncidence mathématique réside souvent dans le fait qu'un nombre réel est proche d'un nombre entier, ou plus généralement proche d'un nombre rationnel avec un petit dénominateur. Étant donné le très grand nombre de façons de combiner les expressions mathématiques, il en existe un très grand nombre.

Bien que les coïncidences mathématiques soient parfois utiles, elles sont principalement célèbres en tant que curiosités ou récréations mathématiques.

[modifier] Quelques exemples

[modifier] Formules avec π

La première réduite de π par fraction continue; [3; 7] = 22/7 = 3.1428..., était connue d'Archimède^[1] , et elle est vraie à environ 0.04% près.
La troisième réduite de π, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3.1415929..., trouvée par Zu Chongzhi, est vraie sur 6 décimales, soit 85 pour un milliard; cette extrême précision vient du fait que π a un quatrième terme inhabituellement élevé dans sa représentation en fraction continue : π = [3; 7, 15, 1, 292, ...].

[modifier] La base 2

La coïncidence $2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3$ , vraie à 2.4% près, renvoie à l'expression rationnelle $\frac{\log10}{\log2} \approx 3.219 \approx \frac{10}{3}$ , ou $2 \approx 10^{3/10}$ , vrai à 0.3% près. Cette relation est utilisée en ingénierie, par exemple pour donner une approximation d'une puissance de 2 avec 3 dB (en fait 3.0103 dB), ou pour passer d'1 kilobyte à 1 kibibyte; voir Préfixe binaire.
En utilisant 3/10 comme approximation de log₁₀2, on trouve les approximations suivantes pour les log d'autres valeurs :
- $3^4\approx 10\cdot 2^3,$ amène à $\log_{10}3 = (1+3\log_{10}2)/4\approx (1 + 9/10)/4 = 0.475$ (à comparer à 0.4771, vrai à 0.5% près)
- $7^2\approx 10^2/2,$ amène à $\log_{10}7 \approx 1-\log_{10}2/2 \approx 1 - 3/20 = 0.85$ (à comparer à 0.8451, vrai à 0.6% près)

[modifier] Les intervalles musicaux

Les coïncidences $2^{11} \approx 3^7$ et $\frac{\log3}{\log2} \approx 1.5849... \approx \frac{11}{7}$ amènent à l'observation souvent utilisée en musique qui fait correspondre 7 demi-tons de la gamme tempérée à une quinte de la gamme naturelle : $2^{7/12}\approx 3/2$ , vrai à 0.1% près. La quinte est la base de la gamme pythagoricienne et de la plupart des systèmes musicaux.
De l'approximation ${(3/2)}^{12}\approx 2^7$ , il résulte que le cycle des quintes se termine sept octaves plus haut que l'origine.

[modifier] Expressions numériques

[modifier] Les puissances de π

$\pi^2\approx10;$ est vrai à 1.3% près. Cette coïncidence a été utilisée dans la conception de la règle à calculs, en particulier dans les graduations de la réglette centrale.
$\pi^2\approx 227/23,$ vrai à 0.0004% près (à noter que 2, 227, and 23 sont des nombres premiers de Chen).
$\pi^3\approx 31$ (en fait 31.0062...);
$\pi^5\approx 306$ (en fait 306.0196...).
$\pi\approx \sqrt{2} + \sqrt{3}$ (vrai à 0.15% près).
$\pi\approx\left(9^2+\frac{19^2}{22}\right)^{1/4},$ ou $\pi^4\approx 2143/22$ , juste sur 8 décimales ^[2].

[modifier] Le nombre e

$\sum_{k=1}^8 \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \approx e$ , à 0.016% près.
Pour tout entier n, les premières décimales de $n - e$ sont composées de 2, 7, 1, et 8, c'est-à-dire les premiers chiffres de e.
$\exp(-\psi(\sqrt{3}/4+1/2)) \approx 2$ à 0.000015% près (un pour 10 millions), où ψ est la fonction polygamma et exp est la fonction exponentielle.

[modifier] Formules avec π et e

$\pi^4+\pi^5\approx e^6$ , vrai à 0.000 005% près.

$e^\pi - \pi\approx 19.99909998$ est très proche de 20 (Conway, Sloane, Plouffe, 1988), et est équivalent à $(\pi+20)^i=-0.999 999 999 2... -i\cdot 0.000 039... \approx -1$ ^[3]

${\pi^{3^2}}\div{e^{2^3}}\approx 9.9998$ ^[3]

${\pi\div e} \approx 2/\sqrt3$ , vrai à 0.089% près. C'est équivalent à: ${e}\approx \pi\cdot \sin (\pi/3)$ .

${\pi - e} \approx 1-1/\sqrt3$ , vrai à 0.15% près.

${(\pi\div e)/(\pi - e)} \approx \sqrt3 + 1$ , vrai à 0.067% près.

[modifier] Formules avec π, e et le nombre d'or

$\phi\times e\div\pi \approx 7/5$ , vrai à 0.001% près.

$\phi+e+\pi \approx 7.5$ , vrai à 0.3% près.

[modifier] Formules avec π, e et le nombre 163

${163}\cdot (\pi - e) \approx 69$ , vrai à 0.0005% près.

${{163} / \log_{e}{163} } \approx 2^5$ , vrai à 0.000 004% près.

Constante de Ramanujan: $e^{\pi\sqrt{163}} \approx (2^6\cdot 10005)^3+744$ , vrai à $2.9\cdot 10^{-28}%$ près. ^[4]
Ceci implique : $\pi \approx {1\over \sqrt{163}}\log_e{(640320^3+744)}$ , qui est vrai pour environ 20 chiffres.

Note: $e^{\pi\sqrt{n}}$ est proche d'un entier pour de nombreuses valeurs de $n$ , en particulier pour $n = 163$ , ce qui est expliqué par la théorie algébrique des nombres. Voir nombre de Heegner et nombre presque entier.

[modifier] Coïncidences sur les unités

$π$ secondes est un nanosiècle (c'est-à-dire $10 - 7$ années); vrai à 0.5% près.
un attoparsec par microfortnight (1 fortnight = 14 jours) est approximativement 1 pouce par seconde (en réalité 1,0043 pouces par seconde).
un furlong par fortnight est approximativement égal à 1 centimètre par minute.
un attoparsec cubique (un cube d'un attoparsec de côté) est à 1% près égal à 1 once liquide américaine.
un mille international (mile) est environ $φ$ kilomètres (vrai à 0.5% près), où $\phi={1+\sqrt 5\over 2}$ est le nombre d'or. Puisque $φ$ est la limite du ratio de 2 termes consécutifs de la suite de Fibonacci, cela donne une suite d'approximations de correspondances entre miles et kilomètres : $F n$ mi = $F n + 1$ km, par exemple 5 mi = 8 km, 8 mi = 13 km.
Une autre bonne approximation est : 1 mile = ln(5) km. En effet, 1 mile = 1.609344 km et ln(5) = 1.6094379124341...
N_A ≈ 2⁷⁹, où N_A est le nombre d'Avogadro; vrai à environ 0.4% près. Cela signifie qu'1 yobibyte est approximativement un peu plus du double d'une mole de bytes. Ceci signifie également qu'1 mole de matière (c'est-à-dire 12 g de carbone, ou 25 l de gaz à température et pression normales) ne peut pas être divisé en 2 plus de 79 fois.
La vitesse de la lumière dans le vide est d'environ un pied par nanoseconde (vrai à 2% près), ou encore 3×10⁸ m/s (vrai à 0.07% près), ou enfin 1 milliard de km/h (vrai à 7.93% près)

[modifier] Autres curiosités numériques

$10! = 6! \cdot 7!$ .
$\sin(666^\circ) = \cos(6\cdot6\cdot6^\circ) = - \phi/2$ , où φ est le nombre d'or (une égalité étonnante avec un angle exprimé en degrés) Voir Nombre de la bête.
$\,5^2=25$ et $3^3=27\,$ sont les seuls carrés et cubes séparés de 2 unités.
$\,3 + 2 = \log_2{32}$ .
$\,4^2 = 2^4$ est l'unique solution entière de $a^b = b^a, a\neq b$ (voir fonction W de Lambert pour une preuve formelle).
Non seulement $\,3^2 + 4^2 = 5^2$ , mais aussi $\,3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$ .
$\!\ \sin 9 - \cos 9$ est égal au nombre plastique $ψ$ (solution de $ψ 3 = 1 + ψ$ ) à 0.111% près.
31, 331, 3331 etc. jusqu'à 33333331 sont tous des nombres premiers, mais pas 333333331.
Le nombre de Fibonacci F₂₉₆₁₈₂ est (probablement) un nombre semi-premier, puisque F₂₉₆₁₈₂ = F₁₄₈₀₉₁ × L₁₄₈₀₉₁ où F₁₄₈₀₉₁ (30949 chiffres) et le nombre de Lucas L₁₄₈₀₉₁ (30950 chiffres) sont simultanément nombres premiers probables.^[5]
Dans le paradoxe des anniversaires, le nombre $\lambda=\frac{1}{365}{23\choose 2}$ intervient; Richard Arriata note qu'il est "étrangement" égal à $ln(2)$ sur 4 chiffres.^[6]

[modifier] Coïncidences décimales

$2^5 \cdot 9^2 = 2592$ .
$1! + 4! + 5! = 145$ .
$\frac {16} {64} = \frac {1\!\!\!\not6} {\not6 4} = \frac {1} {4}$ , $\frac {26} {65} = \frac {2\!\!\!\not6} {\not6 5} = \frac {2} {5}$ , $\frac {19} {95} = \frac {1\!\!\!\not9} {\not9 5} = \frac {1} {5}$
$\,(4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4,913$ et $\,(1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3=19,683$ .
$\,1^3 + 5^3 + 3^3 = 153$ ; $\,3^3 + 7^3 + 0^3 = 370$ ; $\,3^3 + 7^3 +1^3 = 371$ ; $\,4^3 + 0^3 +7^3 = 407$
$3^2 + 7^2 - 3 \cdot 7 = (3^3 + 7^3)/(3 + 7) = 37$ .
$\,(3 + 4)^3 = 343$ (important dans le symbolisme numérique de la cathédrale Saint-Étienne de Vienne)
$\,35 - 3^2 - 5^2 = 75 - 7^2 - 5^2$ .
$\,588^2+2353^2 = 5882353$ et $\, 1/17 = 0.058823529411764...$ , qui arrondi à 8 chiffres fait 0.05882353 ^[7]
Le nombre qui égale la somme de ses nombres aux puissances consécutives: $\,2646798 = 2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7.$

[modifier] Voir aussi

Pour des coïncidences en physique, voir Principe anthropique.
Nombre presque entier
Nombre narcissique

[modifier] Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mathematical coincidence ».

↑ Petr Beckmann, A History of Pi, Barnes & Noble, 1993
↑ dû à Ramanujan: Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, pp350-372). Ramanujan affirme que cette "curieuse approximation" de $π$ a été "obtenue empiriquement" et n'a pas de lien avec la théorie développée dans le reste de son papier. Cela peut être vu humoristiquement comme: Prenez le nombre "1234", transposez les premiers deux chiffres et les deux derniers chiffres, et ainsi le nombre devient "2143". Divisez ce nombre par "deux-deux" (22, donc 2143/22 = 97.40909...). Prenez les deux fois deuxièmes racines (racines quatrièmes) de ce nombre. Le résultat final est remarquablement proche de $π$ (à 1 milliardième près)
↑ ^a ^b Almost Integer, Wolfram MathWorld
↑ Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.
↑ David Broadhurst, "Prime Curios!: 10660...49391 (61899-digits)" at The Prime Pages.
↑ Richard Arratia (dir.), Poisson approximation and the Chen-Stein method, 1990, Statistical Science vol. 4, nb. 4, pp 403-434
↑ mentionné par Gilbert Labelle en 1980

[modifier] Liens externes

(ru) В. Левшин., Магистр рассеянных наук., Москва, Детская Литература 1970, 256 с.
(en) Hardy, G. H., A Mathematician's Apology, New York: Cambridge University Press, 1993, (ISBN 0-521-42706-1)
(en) Archimedes' Laboratory
(en) Online Encyclopedia of Integer Sequences
(en) Almost Integer de Wolfram MathWorld
(en) Des exemples de coïncidences mathématiques dans la section "Science & Maths" du site futilitycloset.com
(en) e to the pi Minus pi, Bande dessinée mathématique

Catégorie : Mathématiques récréatives