Nombre presque entier

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En mathématiques récréatives, un nombre presque entier est un nombre irrationnel, qui est de façon surprenante très proche d'un entier.

Sommaire

1 Quelques cas
2 Liens internes
3 Liens externes
4 Références

[modifier] Quelques cas

[modifier] Puissances du nombre d'or

Des exemples de nombres presque entiers sont certaines puissances entières élevées du nombre d'or

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618033988749894848204586834365...,$

comme par exemple :

$\varphi^{17} = 3571.000280\dots\,$

$\varphi^{18} = 5777.999827\dots\,$

$\varphi^{19} = 9349.000107\dots\,$

$\varphi^{20} = 15126.999934\dots\,$ .

$\varphi^{21} = 24476,000040\dots\,$

$\varphi^{22} = 39602,999974\dots\,$ .

Le fait que ces valeurs s'approchent de nombres entiers n'est pas une coïncidence, mais s'explique du fait que le nombre d'or est un nombre de Pisot-Vijayaraghavan : un entier algébrique dont les éléments conjugués sont en valeur absolue inférieurs à l'unité. Il en résulte que pour $\scriptstyle n \,\gg\, 1\,$ :

$\varphi^n \approx L_n - \frac{(-1)^n}{L_n}$

où L_n est le nème nombre de Lucas.

[modifier] Constante de Ramanujan

Une proportion importante des premiers nombres de la forme $e^{\pi\sqrt{n}}$ ont une partie décimale commençant par plusieurs 9 :

$e^{\pi \sqrt{6}} = Entier + 0.99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{17}} = Entier + 0.99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{18}} = Entier + 0.99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{22}} = Entier + 0.99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{25}} = Entier + 0.999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{37}} = Entier + 0.9999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{43}} = Entier + 0.999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{58}} = Entier + 0.999999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{59}} = Entier + 0.99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{67}} = Entier + 0.99999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{74}} = Entier + 0.999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{163}} = Entier + 0.99999999999925\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{232}} = Entier + 0.99999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{719}} = Entier + 0.9999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{1169}} = Entier + 0.9999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{1467}} = Entier + 0.99999999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{4075}} = Entier + 0.99999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{5773}} = Entier + 0.9999\dots\,.$

En effet, avec une répartition uniforme, on s'attendrait à n'avoir que :

1 nombre (au lieu des 11 observés) dont la partie décimale commence par 0.99..., pour n compris entre 1 et 100,
1 nombre (au lieu des 9 observés) dont la partie décimale commence par 0.999..., pour n compris entre 1 et 1000,
1 nombre (au lieu des 10 observés) dont la partie décimale commence par 0.9999..., pour n compris entre 1 et 10000,

Le nombre $e^{\pi\sqrt{163}}$ , qui est le plus étonnant, est parfois dénommé constante de Ramanujan.

Autre fait remarquable : trois des nombres de la liste correspondent aux valeurs de n qui sont les 3 plus grands nombres de Heegner : 43, 67 et 163. On a :

$\begin{align} e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 12^3(9^2-1)^3+744 - 0.00022\\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 12^3(21^2-1)^3+744 - 0.0000013\\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3(231^2-1)^3+744 - 0.00000000000075 \end{align}$

la présence des carrés (de 9, 21 et 231) étant en relation avec certaines séries d'Eisenstein^[1].

[modifier] Un record ?

$\Biggl( {\frac {ln{({644320})^3+744}} {\pi}} \Biggr)^2 = 163,\underbrace{00000000000000000000000000000000}_{32}232...$ .

François Le Lionnais cite ce cas^[2]comme étant "certainement l'approximation la plus étonnante d'un entier dans l'univers".

[modifier] Autres cas

Des nombres presque entiers utilisant les constantes $π$ et e ont souvent étonné et amusé les mathématiciens. Un exemple est :

$e^\pi - \pi = 19.999099979\dots\,.$

Aucune explication n'a encore été donnée au fait que la constante de Gelfond est presque identique à $\scriptstyle \pi \,+\, 20$ , qui est donc vu comme une pure coïncidence mathématique^[3].