Nombre de Lucas

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[modifier] Définition

On appelle nombre de Lucas tout nombre de la suite de Lucas définie par :

\mathcal{L}_{0}=2.
\mathcal{L}_{1}=1.
\mathcal{L}_{n+2}=\mathcal{L}_{n+1}+\mathcal{L}_n.

La relation de récurrence est la même que celle de la suite de Fibonacci. Les valeurs initiales sont 2 et 1 au lieu de 1 et 1.

[modifier] Premières valeurs

Rangés par ordre croissant, les premiers nombres de Lucas (pour n compris entre 0 et 30) sont les suivants :

1=\mathcal{L}_{1}
2=\mathcal{L}_{0}
3=\mathcal{L}_{2}
4=\mathcal{L}_{3}
7=\mathcal{L}_{4}
11=\mathcal{L}_{5}
18=\mathcal{L}_{6}
29=\mathcal{L}_{7}
47=\mathcal{L}_{8}
76=\mathcal{L}_{9}
123=\mathcal{L}_{10}
199=\mathcal{L}_{11}
322=\mathcal{L}_{12}
521=\mathcal{L}_{13}
843=\mathcal{L}_{14}
1364=\mathcal{L}_{15}
2207=\mathcal{L}_{16}
3571=\mathcal{L}_{17}
5778=\mathcal{L}_{18}
9349=\mathcal{L}_{19}
15127=\mathcal{L}_{20}
24476=\mathcal{L}_{21}
39603=\mathcal{L}_{22}
64079=\mathcal{L}_{23}
103682=\mathcal{L}_{24}
167761=\mathcal{L}_{25}
271443=\mathcal{L}_{26}
439204=\mathcal{L}_{27}
710647=\mathcal{L}_{28}
1149851=\mathcal{L}_{29}
1860498=\mathcal{L}_{30}

[modifier] Propriétés

Les puissances successives du nombre d'or

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618033988749894848204586834365...,

sont voisines des nombres de Lucas. Par exemple :

\varphi^{17} = 3571.000280\dots\,
\varphi^{18} = 5777.999827\dots\,
\varphi^{19} = 9349.000107\dots\,
\varphi^{20} = 15126.999934\dots\, .
\varphi^{21} = 24476,000040\dots\,
\varphi^{22} = 39602,999974\dots\, .

En réalité, pour \scriptstyle n \,\gg\, 1\,, on a : \varphi^n \approx \mathcal{L}_n - \frac{(-1)^n}{\mathcal{L}_n}.